Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 251 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

251
4)
{}{ }
T
vEhry )1/(,1)(
011
−= ;
{
}
{
}
T
ry 0,0)(
10
= ;
rr
∆
=
1
.
Затем, подчиняя полученный вектор состояния
{
}
)r(y
граничному условию при
2
rr
=
,
определяют постоянную интегрирования С. Например, для случая 1 получим
алгебраическое уравнение относительно постоянной С
0)()(
20,221,2
=
+
ryrСy ,
где
)()(
21,121,2
rTry = ; )()(
20,120,2
rTry
=
.
Здесь индексы указывают: первый – соответствует второму компоненту вектора состояния;
второй: 1- общее решение однородной системы (14.4), 0- частное решение неоднородной
системы (14.2). Таким образом, зависимость
1212
T)r(y
,
=
получена в результате решения
однородной системы (14.4) при начальном значении
2
rr
=
, а
1202
T)r(y
,
= получена в
результате решения неоднородной системы (14.2) при
2
rr
=
. В данном случае постоянная
С равна окружной деформации
2
ε
на внутреннем контуре диска.
Итак, в результате выполненных процедур вектор состояния в начальном сечении
1
rr =
известен полностью
{}
{
}
{
}
)()()(
10111
ryryCry
+
=
.
Интегрируя систему (14.2) с начальным вектором состояния (14.6), получают вектор
состояния в любом сечении диска. При этом интегрировании производится обработка
результатов счета и вывод на печать необходимой информации (толщина, температура,
вектор состояния, напряжения
r
σ
,
t
σ
и т.д.) в характерных точках интервала
интегрирования.
14.2. Пример расчета
Пример 14.1. Диск (рис.14.1,а), выполненный из стали, вращается равномерно с
частотой
3000=n об/мин. Определить напряжения
r
σ
,
t
σ
и перемещения u в диске. Дано:
11
102 ⋅=E Па; 3,0=v ;
3
108 ⋅=
ρ
кг/м3; 25
1
=
r мм; 250
2
=
r мм; 50
3
=r мм; 225
4
=r мм;
60=h мм.
Решение. Сформулируем граничные условия задачи:
при
025,0=r 0
1
=
T ,
при 25,0=r
0
1
=
T .
В соответствии с методом начальных параметров для определения вектора состояния
{}
y
нужно проинтегрировать систему (14.2) трижды. Первое интегрирование провести с
начальным вектором
{}
=
0
1
)025,0(
1
y
при
{}
0=g
и осуществить запоминание компонента )25,0(
1,2
y , т.е.
1
T на ободе диска.
Второе интегрирование провести с начальным вектором состояния
{}
=
0
0
)025,0(
0
y
при
{}
0≠g и определить постоянную С из граничного условия при
25,0=r
, которое можно
записать как
0)25,0()25,0(
0,21,2
=
+
yCy ,
откуда
(14.6) 
                 4)   {y1 (r1 )} = {1, Eh0 /(1 − v)}T ; {y0 (r1 )} = {0,0}T ;
                                                            r1 = ∆r .
Затем, подчиняя полученный вектор состояния {y( r )} граничному условию при r = r2 ,
определяют постоянную       интегрирования С. Например, для      случая 1 получим
алгебраическое уравнение относительно постоянной С
                                 Сy2,1 (r2 ) + y2,0 (r2 ) = 0 ,
где
                               y2,1 (r2 ) = T1,1 (r2 ) ;       y2,0 (r2 ) = T1,0 (r2 ) .
Здесь индексы указывают: первый – соответствует второму компоненту вектора состояния;
второй: 1- общее решение однородной системы (14.4), 0- частное решение неоднородной
системы (14.2). Таким образом, зависимость y 2 ,1 ( r2 ) = T1 получена в результате решения
однородной системы (14.4) при начальном значении r = r2 , а y 2 ,0 ( r2 ) = T1 получена в
результате решения неоднородной системы (14.2) при r = r2 . В данном случае постоянная
С равна окружной деформации ε 2 на внутреннем контуре диска.
          Итак, в результате выполненных процедур вектор состояния в начальном сечении
r = r1 известен полностью
                                {y(r1 )} = C{y1 (r1 )} + {y0 (r1 )}.         (14.6)
Интегрируя систему (14.2) с начальным вектором состояния (14.6), получают вектор
состояния в любом сечении диска. При этом интегрировании производится обработка
результатов счета и вывод на печать необходимой информации (толщина, температура,
вектор состояния, напряжения σ r , σ t и т.д.) в характерных точках интервала
интегрирования.
                                       14.2. Пример расчета

          Пример 14.1. Диск (рис.14.1,а), выполненный из стали, вращается равномерно с
частотой n = 3000 об/мин. Определить напряжения σ r , σ t и перемещения u в диске. Дано:
E = 2 ⋅ 1011 Па; v = 0,3 ; ρ = 8 ⋅ 103 кг/м3; r1 = 25 мм; r2 = 250 мм; r3 = 50 мм; r4 = 225 мм;
h = 60 мм.
             Решение. Сформулируем граничные условия задачи:
при          r = 0,025 T1 = 0 ,
при      r = 0,25      T1 = 0 .
        В соответствии с методом начальных параметров для определения вектора состояния
{y} нужно проинтегрировать систему (14.2) трижды. Первое интегрирование провести с
начальным вектором
                                            {y1 (0,025)} =  
                                                             1
                                                            0
при   {g} = 0   и осуществить запоминание компонента y 2,1 (0,25) , т.е. T1 на ободе диска.
Второе интегрирование провести с начальным вектором состояния
                                           {y0 (0,025)} =  
                                                             0
                                                            0
при {g } ≠ 0 и определить постоянную С из граничного условия при r = 0,25 , которое можно
записать как
                                   y 2,1 (0,25)C + y 2, 0 (0,25) = 0 ,
откуда



                                                           251

Страницы