Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 250 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

250
Решение системы (14.1) должно удовлетворять двум граничным условиям, которые
заданы на внутренней (при
1
rr = ) и внешней (при
2
rr
=
) поверхностях диска. Приведем
некоторые варианты граничных условий:
1.
Внутренняя и наружная поверхности диска свободны от напряжений. В этом случае
при
1
rr
=
,0)(
11
=
rT
при
2
rr
=
0)(
21
=
rT .
2.
Диск посажен на вал с натягом
∆
. При
1
rr
=
, 2/
∆
=
−
b
uu , где
b
u радиальное
перемещение вала на посадочной окружности. Если вал сплошной, то
uu
b
<<
и при расчете
можно пренебречь деформацией вала. В этом случае граничное условие имеет вид
2/)(
1
∆=ru .
3. На внутреннем контуре диска задано давление
1
p
, а на наружном контуре –
напряжение
2
p , обусловленное растяжением лопаток. Тогда, при
1
rr
=
111
hpT −= , при
2
rr =
221
hpT = , где
1
h и
2
h - толщина диска на внутренней и внешней поверхностях
соответственно.
4. Диск без отверстия. Тогда, при
0
=
r
21
TT
=
или
∆−
−
= t
r
u
v
Eh
T
α
1
0
1
,
где
0=u , но
r
/u - конечная величина;
0
h - толщина диска в центре.
Так как коэффициенты в (14.1) при
0
=
r обращаются в бесконечность, то численный счет
начинается в этом случае на небольшом расстоянии
r
∆
от центра (например,
4
10
−
=∆r
м).
При численном интегрировании системы (14.2) вектор состояния
{}
Y должен быть
полностью задан.
Однако задача расчета диска принадлежит к классу краевых задач, т.е. в начальной
точке интервала интегрирования задан либо один из компонентов вектора состояния
{
}
Y
(граничные условия: 1,3,4), либо связь между компонентами (диск без отверстия). Эту
трудность можно преодолеть, используя метод начальных параметров. Согласно этому
методу сначала проводят интегрирование однородной системы дифференциальных
уравнений
{}
)0( =g
{}
[]
{}
11
yFy
dr
d
=
при начальном условии (начальном значении вектора состояния)
{
}
)r(y
11
. При этом, в силу
линейности задачи, выражение
{}
)r(yC
1
, где C - постоянная, также является решением
системы (14.4). Далее выполняют интегрирование неоднородной системы (14.2) при
начальном условии
{}
)r(y
10
- частное решение системы (14.2). Полное решение может быть
представлено как сумма полученных решений.
{}
{
}
{
}
)(
0
)(
1
)( ryryCry
+
=
,
причем векторы состояния
{}
)r(y
1
и
{
}
)r(y
0
задают таким образом, чтобы полный вектор
состояния
{}
)r(Y
удовлетворял граничному условию при
1
rr
=
для любого значения
.
Так, для рассмотренных ранее случаев граничных условий 1,2,3,4 векторы состояния
{}
)r(y
11
и
{}
)r(y
10
имеют вид:
1)
{}{}
T
ry 0,1)(
11
= ;
{
}
{
}
T
ry 0,0)(
10
= ;
2)
{}{}
T
ry 1,0)(
11
=
;
{
}
{
}
T
rry 0)2/()(
110
∆= ;
3)
{}{}
T
ry 0,1)(
11
= ;
{
}
{
}
T
hpry
1110
,0)( −= ;
(14.4)
(14.5) 
      Решение системы (14.1) должно удовлетворять двум граничным условиям, которые
заданы на внутренней (при r = r1 ) и внешней (при r = r2 ) поверхностях диска. Приведем
некоторые варианты граничных условий:
   1. Внутренняя и наружная поверхности диска свободны от напряжений. В этом случае
                            при      r = r1      T1 (r1 ) = 0,
                                  при       r = r2          T1 (r2 ) = 0 .
   2. Диск посажен на вал с натягом   ∆ . При r = r1 , u − ub = ∆ / 2 , где ub радиальное
перемещение вала на посадочной окружности. Если вал сплошной, то ub << u и при расчете
можно пренебречь деформацией вала. В этом случае граничное условие имеет вид
u (r1 ) = ∆ / 2 .
          3. На внутреннем контуре диска задано давление p1 , а на наружном контуре –
напряжение p 2 , обусловленное растяжением лопаток. Тогда, при r = r1  T1 = − p1h1 , при
r = r2 T1 = p2 h2 , где h1 и h2 - толщина диска на внутренней и внешней поверхностях
соответственно.
       4. Диск без отверстия. Тогда, при r = 0 T1 = T2 или
                                               Eh  u     
                                          T1 = 0  − α∆t  ,
                                              1− v  r    
где u = 0 , но u / r - конечная величина; h0 - толщина диска в центре.
Так как коэффициенты в (14.1) при r = 0 обращаются в бесконечность, то численный счет
начинается в этом случае на небольшом расстоянии ∆r от центра (например, ∆r = 10 −4 м).
      При численном интегрировании системы (14.2) вектор состояния {Y } должен быть
полностью задан.
      Однако задача расчета диска принадлежит к классу краевых задач, т.е. в начальной
точке интервала интегрирования задан либо один из компонентов вектора состояния {Y }
(граничные условия: 1,3,4), либо связь между компонентами (диск без отверстия). Эту
трудность можно преодолеть, используя метод начальных параметров. Согласно этому
методу сначала проводят интегрирование          однородной системы дифференциальных
уравнений ({g } = 0)
                                       d
                                          {y1 } = [F ]{y1 }                      (14.4)
                                       dr
при начальном условии (начальном значении вектора состояния) {y1 ( r1 )} . При этом, в силу
линейности задачи, выражение C{y1 ( r )}, где C - постоянная, также является решением
системы (14.4). Далее выполняют интегрирование неоднородной системы (14.2) при
начальном условии {y 0 ( r1 )} - частное решение системы (14.2). Полное решение может быть
представлено как сумма полученных решений.
                                                 {      }{
                                   {y (r )} = C y1 (r ) + y0 (r ) , }             (14.5)
причем векторы состояния {y1 ( r )} и {y 0 ( r )} задают таким образом, чтобы полный вектор
состояния {Y ( r )} удовлетворял граничному условию при r = r1 для любого значения C .
Так, для рассмотренных ранее случаев граничных условий 1,2,3,4 векторы состояния
{y1 ( r1 )} и {y 0 ( r1 )} имеют вид:
               1)   {y1 (r1 )} = {1,0}T ;     {y0 (r1 )} = {0,0}T ;
               2)   {y1 (r1 )} = {0,1}T ;     {y0 (r1 )} = {∆ /(2r1 )0}T ;
               3)   {y1 (r1 )} = {1,0}T ;     {y0 (r1 )} = {0,− p1h1}T ;


                                                     250

Страницы