Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 266 стр.

                                               15.3. Примеры расчета

      Пример 15.1. Для представленной на рис.15.2,а пластины построить графики M r ,
M t и W в зависимости от радиуса и определить коэффициент запаса n y по текучести. При
расчете принять E = 2 ⋅105 МПа, v = 0,3 , P = 10 5 Н/м, σ yτ = σ yc = σ y = 200 МПа. Размеры
пластины на рис.15.2,а даны в миллиметрах. Расчет эквивалентного напряжения провести по
теории начала текучести Хубера-Мизеса.
Решение. Пластина имеет два участка с различными законами изменения толщины и
поперечной силы:
      участок 1-0,02 ≤ r ≤ 0,04 м;
      участок 2-0,04 ≤ r ≤ 0,125 м.
      Толщина (в метрах) в зависимости от радиуса составляет
                                          0,02 – на у-ке 1 (NS=1);
                                 H(R)     0,01+0,01(r-0,04)/0,085 –на у-ке 2 (NS=2).
Приведенные формулы вычисления толщины вносятся в подпрограмму-функцию
TOL(R,NS).
      Определяем поперечную силу Q [Н/м] из уравнения равновесия части пластины,
ограниченной внутренним контуром и цилиндрическим сечением радиуса r. Это уравнение
имеет вид:
      на первом участке (рис. 15.2,б)                Q ⋅ 2πr = 0 ,
       на втором участке (рис. 15.2,в)
                                     Q ⋅ 2πr = P ⋅ 2πrp ,
где rp = 0,04 м, Р=105 Н/м. Тогда
                                0, на 1 участке (NS=1);
                                Q(R)=
                                4⋅103/r, на 2участкеке (NS=2).
      Вычисление по этим формулам производится в подпрограмме-функции Q(R,NS).
Граничное условие M r = 0 на внутреннем контуре ( r = r1 = 0,02 м) будет выполнено
тождественно, если принять начальные значения векторов однородного                            y1 (r1 ) и
неоднородного y 0 ( r1 ) решений в виде
                      y1 (r1 ) = (0,1,0) T ,                        y 0 (r1 ) = (0,0,0) T .
Таким образом, матрица решений Y ( r1 ) на внутреннем контуре составляет
                                                0 0
                                                     
                                      Y (r1 ) =  1 0  .
                                                0 0
                                                     
Эта матрица формируется в подпрограмме NUS(Y); при этом все элементы матрицы Y
приравниваются нулю, а затем элементу Y(2,1) присваивается значение единицы.
       Граничные условия на внешнем контуре ( r = r2 = 0,125 м)
                                      ϑ =0, W =0
с учетом выражения (15.10) получают вид
                                  y 21C1 + y 20 = 0;
                                           y11C1 + C 2 + y10 = 0,
откуда постоянные интегрирования
                                                    y 20
                                           C1 = −        ;
                                                    y 21




                                                      266