Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 57 стр.

                                    M x max 10,5qe l 2 10,5 ⋅ 500
                          σ max =          =          =             = 132 МПа.
                                     Wx        Wx       39,7 ⋅10 −6
      Коэффициент запаса
                                                 σy    250
                                         ny =        =     = 1,89 .
                                                σ max 132
                        3.4. Определение перемещений в балках и рамах

      Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки имеет вид
                                          EI xV ′′ = M x .                      (3.4)
      Интегрируя (3.4) первый раз, получим уравнение углов поворота сечений
                                               M
                                        ϑ = ∫ x dz + C .
                                              EI x
      После повторного интегрирования находим уравнение изогнутой оси балки
                                            M dz
                                      V = ∫∫ x + Cz + D .
                                              EI x
       Прогиб V считается положительным, если его направление совпадает с
положительным направлением оси y . Угол поворота ϑ считается положительным, если
поворот поперечного сечения балки вокруг нейтральной оси x происходит против часовой
стрелки.
      Постоянные интегрирования C и D на каждом участке определяются из граничных
условий задачи и условий совместимости деформаций на границах участков. Необходимость
совместного решения 2n уравнений ( n - число участков) сильно усложняет, поэтому
непосредственное интегрирование применяют только тогда, когда число участков невелико
(один-два).
      С помощью метода начальных параметров удается число постоянных интегрирования
независимо от числа участков свести к двум. За начальные параметры принимают прогиб V0
и угол поворота ϑ 0 поперечного сечения балки в начале координат, которое необходимо
располагать на конце балки (рис.3.9,а).
        Согласно методу начальных параметров, общее решение дифференциального
уравнения (3.4), представляющее собой уравнение изогнутой оси балки (рис.3.9,а), имеет вид
                               ( z − a) 2    ( z − b) 3      ( z − c) 4      (z − d )4
 EI xV = EI xV0 + EI xϑ0 z + M            +F            + qe            − qe           . (3.5)
                                    2             6              24             24
        При практических расчетах записывается уравнение изогнутой оси балки в форме
(3.5) на последнем участке. Для вычисления перемещения сечения на другом участке
необходимо использовать ту часть уравнения, которое справедливо для данного участка. С
этой целью после подстановки координаты заданного сечения слагаемые с отрицательной и
нулевой скобками отбрасываются. Начальные параметры V0 и ϑ0 определяются из
граничных условий.
        Перемещения в стерневых системах можно определить также при помощи интеграла
Мора
                                                f = ∫ M x M 1dz /( EI x ) ,
                                                l

      где f - линейное или угловое перемещение сечения; M x - выражение изгибающего
момента в текущем сечении стержня, вызванного действием заданной нагрузки; M 1 -
выражение изгибающего момента в том же сечении, вызванного действием единичной
нагрузки, приложенной в заданном сечении в направлении искомого перемещения (при




                                                    57