Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 178 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

178
5.3.3. Метод вариации произвольных постоянных
. 5.3.4 [5].Предварительно рекомендуется прочитать п из
:Алгоритм метода следующий
1) находим фундаментальную систему решений y
1
,
y
2
,
...,
y
n
-соответ
;ствующей однородной системы уравнений
2) ищем решение уравнения неоднородной системы уравнений в виде
1 2
1 2
1
( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ,
n
n j
n j
j
y x C x y C x y C x y C x y
где C
1
(x),
C
2
(x),
...,
C
n
(x) —
, ;функции подлежащие определению
3) для нахождения функци й
( )
j
C x
с -оставляем систему алгебраиче
ских уравнений
1
( ) ( )
n
j
j
j
, или в координатной форме
1
( ) ( ), 1, 2, ..., ;
n
j
j k
k
j
C x y b x k n
4) р , ешая полученную систему находим
( )
j
C x
, j 1, 2, ..., n, -а следова
, тельно и C
j
(x).
5.177. Для системы дифференциальных уравнений
2
2
2 ,
2 ,
t
t
x x y e
y x e
, , или что то же самое в матричной форме
2
2
1 1 2
,
2 0
t
t
x x e
y y
e
-соот
ветствующая однородная система уравнений имеет вид
1 1
,
2 0
x x
y y
матрица системы равна
1 1
.
2 0
Составляем уравнение
det( )
A rE
1 1
0
2 0
r
r
. -для нахождения собственных чисел Раскрывая опреде
, литель получаем уравнени е
2
2 0,
r r
р ешениями которого являются
числа r
1
1 и r
2
2. -Составляем однородную систему линейных уравне
, -ний для нахождения собственных векторов соответствующих собствен
ному числу r
1
1:
1 1 1
1 2 2
1 1
2 1 0
2
2 1 0
r
r
, , или что то же
, самое в координатной форме
1 2
1 2
2 0,
2 0.
-Второе уравнение пропорцио
, . , нально первому поэтому его можем вычеркнуть Следовательно общее
решение этой системы ест ь
2 1
2 .
Полага я
1
1,
п -олучаем фундамен
,тальную систему решений рассматриваемой системы линейных уравнений
5. Дифференциальные уравнения
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы