Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Ельцов А.А - 177 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

177
Если первое уравнение умножить н а
1 ,
i
т -о получим второе уравне
, , , -ние следовательно оно пропорционально первому поэтому его можем вы
. черкнуть Тогда общее решение этой системы ест ь
2 1
(1 ) .
i
Полагая
1
1,
получаем собственный вектор
1
T
i
м -атрицы системы диф
, ференциальных уравнений соответствующий собственному числ у
1
2 .
r i
Аналогично для собственного числ а
2 1
2
r r i
с обственным вектором
является векто р
2 1
(1,1 ) .
T
i
П -оэтому система вектор функций
(2 ) 2
1
(2 ) (2 )
1
(2 ) 2
1
1 (cos sin )
,
1
(1 ) (1 ) (cos sin )
i t t
i t i t
i t t
x
e e t i t
e e
y
i
i e i e t i t
(2 ) 2
2
(2 ) (2 )
2
(2 ) 2
2
1 (cos sin )
1
(1 ) (1 ) (cos sin )
i t t
i t i t
i t t
x
e e t i t
e e
y
i
i e i e t i t
-является фундаментальной системой решений исходной системы диффе
. , -ренциальных уравнений Можно показать что система вектор функций
(2 ) 2
1 2
(2 ) 2
1 2
Re cos
1
,
2
Re(1 ) (cos sin )
i t t
i t t
x x
e e t
y y
i e e t t
(2 ) 2
1 2
(2 ) 2
1 2
Im sin
1
,
2
Im(1 ) (cos sin )
i t t
i t t
x x
e e t
y y
i
i e e t t
, -состоящая из действительной и мнимой частей полученных решений так
-же является фундаментальной системой решений исходной системы диф
. - ференциальных уравнений Так как вторая система вектор функций есть
, — ,система вещественнозначных решений а первая комплекснозначных
- -то для записи общего решения используем вторую систему вектор функ
. , ций Таким образом общее решение системы можно записать в виде
2 2
1 2
2 2
cos sin
.
(cos sin ) (sin cos )
t t
t t
x e t e t
C C
y
e t t e t t
Задачи для самостоятельного решения
-Найти общее решение следующих систем дифференциальных урав
.нений
5.167.
2 ,
3 4 .
x x y
y x y
5.168.
3 ,
3 .
x x y
y x y
5.169.
2 ,
4 .
x x y
y x y
5.170.
2 2 ,
2 ,
2 .
x x y z
y x z
z x y z
5.171.
3 2
.
3 4
x x
y y
5.172.
2 ,
2 3 .
x x y
y x y
5.173.
4 3
.
15 8
x x
y y
5.174.
2 2 ,
4 7 .
x x y
y x y
5.175.
3 2 2 ,
3 ,
2 .
x x y z
y x y z
z x y
5.176.
4 2 2 ,
3 ,
3 3 .
x x y z
y x y z
z x y z
5.3. Системы дифференциальных уравнений
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы