Математические методы в библиотечной работе. Елизаров А.М - 109 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

казатели, определяющие, насколько
тесно сгруппированы возможные
значения случайной величины
около этого центра. Например,
математические ожидания
случайных величин ξ и η могут быть
одинаковы, хотя возможные
значения η могут быть более
разбросаны, чем у ξ. Хорошим
показателем разбросанности
значений является дисперсия.
Определение 2. Дисперсией
случайной велшшни ξ называется
число Dξ = Е (ξ - Еξ)
2
.
Дисперсия имеет наглядный смысл: из каждого
возможного значения случайной величины вычитается
среднее (математическое ожидание), полученное от-
клонение от среднего возводится в квадрат (чтобы
избавиться от отрицательных величин отклонения),
а затем берется „среднее" отклонение, подсчитанное
с помощью формулы для математического ожидания.
Отметим простые свойства дисперсии.
Теорема 5. Дисперсию можно вычислять по
формуле Dξ = Еξ
2
— (Еξ)
2
.
Доказательство. Преобразуем выражение для
дисперсии:
D
ξ
= E(
ξ -
E
ξ)
2
= E(
ξ
2
-2
ξ
E
ξ
+ (Е
ξ)
2
)
= = E
ξ
2
- E(2
ξЕξ
)+E(Е
ξ
)
2
.
Так как Еξ является постоянным числом, то пор тео-
реме 2
Dξ = Eξ
2
- 2Еξ
.
Еξ + (Eξ)
2
= Eξ
2
- (Eξ)
2
■.
Теоремаб. Если а — постоянная, mo D (aξ) = a
2
Dξ.
Доказательство. По определению дисперсии и
теореме 5:
D (аξ) = E(aξ)
2
-[E(aξ)]
2
= Е(a
2
ξ
2
) - (aEξ)
2
=
= a
2
[Eξ
2
- (Eξ)
2
] = a
2
Dξ ■.
109
Рис. 49. Р (a ≤ ξ < b) =
b
= ∫ p (x) dx
a 
казатели, определяющие, насколько
тесно сгруппированы возможные
значения    случайной       величины
около этого центра. Например,
математические              ожидания
случайных величин ξ и η могут быть
одинаковы,       хотя      возможные
значения η могут быть более
разбросаны, чем у ξ. Хорошим
показателем            разбросанности
значений является дисперсия.          Рис. 49. Р (a ≤ ξ < b) =
   Определение 2. Д и с п е р сией            b
случайной велшшни ξ называется             = ∫ p (x) dx
                     2                       a
число Dξ = Е (ξ - Еξ) .
   Дисперсия имеет наглядный смысл: из каждого
возможного значения случайной величины вычитается
среднее (математическое ожидание), полученное от-
клонение от среднего возводится в квадрат (чтобы
избавиться от отрицательных величин отклонения),
а затем берется „среднее" отклонение, подсчитанное
с помощью формулы для математического ожидания.
   Отметим простые свойства дисперсии.
   Теорема 5. Дисперсию можно вычислять по
формуле Dξ = Еξ2 — (Еξ)2.
   Доказательство. Преобразуем выражение для
дисперсии:
         Dξ = E(ξ - Eξ)2 = E(ξ2-2ξEξ + (Еξ)2)
               = = Eξ2 - E(2ξЕξ)+E(Еξ)2.
Так как Еξ является постоянным числом, то пор тео-
реме 2
        Dξ = Eξ2 - 2Еξ . Еξ + (Eξ)2 = Eξ2 - (Eξ)2        ■.
                                                    2
Теоремаб. Если а — постоянная, mo D (aξ) = a Dξ.
Доказательство. По определению дисперсии и
теореме 5:
     D (аξ) = E(aξ)2 -[E(aξ)] 2 = Е(a 2 ξ2) - (aEξ)2 =
                = a2[Eξ2 - (Eξ)2] = a2Dξ                 ■.
                                                         109

Страницы