Mathcad : математический практикум. Часть 2. Есипенко Д.Г - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

24
)
2
,
2
(
23
k
h
y
h
xfk
ii
++= ,
),,(
34
hkyhxfk
ii
+
+
=
).22(
6
43211
kkkk
h
y
i
+++=
+
Погрешность метода на одном шаге сетки равна
4
Mh
. Практически
оценить величину
M
достаточно сложно . При оценке погрешности обычно
используют правило Рунге . Для этого сначала проводят вычисления с шагом
h
, а затем - с шагом
2
h
. Если
)( k
i
y - приближение, вычисленное с шагом
h
, а
)2/( k
i
y - с шагом
2
h
, то справедлива оценка
)(
2
)2/(
2
2
)2/(
2
15
16
)(
k
i
k
i
i
k
i
yyxyy −≤− .
За оценку погрешности решения , вычисленного с шагом
2
h
, принимают
величину
15
max
)(
2
)2/(
2
k
i
k
i
i
yy −
.
В MathCAD для решения задачи Коши на отрезке ],[
0 end
xx методом
Рунге - Кутта с постоянным шагом
N
xx
h
end 0
−
= предназначена функция
rkfixed(y, x0, x
end
, N, D).
Результаты вычислений функции rkfixed - матрица, в первом столбце
которой содержатся координаты узлов равномерной сетки
endN
xxxx
=
,...,,
10
,
а во втором - значения приближенного решения в соответствующих узлах .
Перед обращением к функции rkfixed необходимо присвоить переменной
y
значение
0
y , переменной
0
x - начальное значение аргумента , переменной
end
x - значение конечной точки отрезка интегрирования, переменной
-
количество узлов равномерной сетки. Переменной
)
,
(
y
x
D
присваивается
выражение для вычисления правой части
)
,
(
y
x
f
.
Пример. Решите на отрезке
]
3
,
0
[
задачу Коши )(sin'
332
yxyxy += ,
1
)
0
(
=
y
методом Рунге - Кутта с постоянным шагом. Изобразите графики
решений , вычисленных с шагом
3
.
0
=
h
,
h
2
и
2
h
. 
                                              24
                   h      h
      k3 = f ( xi + , yi + k2 ) ,
                   2       2
      k4 = f ( xi +h, yi +hk3 ),
             h
      yi +1 = ( k1 +2k2 +2k3 +k4 ).
             6
         Погрешность метода на одном шаге сетки равна Mh 4 . Практически
оценить величину M достаточно сложно. При оценке погрешности обычно
используют правило Рунге. Для этого сначала проводят вычисления с шагом
                        h
h , а затем - с шагом . Если yi(k ) - приближение, вычисленное с шагом h , а
                        2
                    h
yi(k / 2) - с шагом , то справедлива оценка
                    2
                                                    16
                            y2( ki / 2) −y ( x2i ) ≤ y2( ki / 2) −y2( ki ) .
                                                    15
                                                                             h
         За оценку погрешности решения, вычисленного с шагом , принимают
                                                                             2
величину
                                          y2( ki / 2) −y2( ki )
                                    max  .
                                   15 i

     В MathCAD для решения задачи Коши на отрезке [ x0 , xend ] методом
                                                    xend −x0
Рунге - Кутта с постоянным шагом h =                         предназначена функция
                                                        N
rkfixed(y, x0, xend, N, D).
      Результаты вычислений функции rkfixed - матрица, в первом столбце
которой содержатся координаты узлов равномерной сетки x0 , x1,..., xN = xend ,
а во втором - значения приближенного решения в соответствующих узлах.
Перед обращением к функции rkfixed необходимо присвоить переменной y
значение y0 , переменной x 0 - начальное значение аргумента, переменной
xend - значение конечной точки отрезка интегрирования, переменной N -
количество узлов равномерной сетки. Переменной D ( x, y ) присваивается
выражение для вычисления правой части f ( x, y ) .
     Пример. Решите на отрезке [0,3] задачу Коши y ' =x 2 y 3 sin 3 ( x + y ) ,
y (0) =1 методом Рунге - Кутта с постоянным шагом. Изобразите графики
                                                         h
решений, вычисленных с шагом h =0.3 , 2h и                 .
                                                         2

Страницы