Mathcad : математический практикум. Часть 2. Есипенко Д.Г - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

9
1.3 Решение задачи Коши для дифференциальных уравнений
высших порядков
Найдем на отрезке
]
3
,
0
[
приближенное решение уравнения
xy
ey
−
='' ,
удовлетворяющее начальным условиям
1
)
0
(
=
y
,
1
)
0
(
'
=
y
, и построим
график найденного решения .
Сведем решение задачи для уравнения второго порядка к задаче для
эквивалентной нормальной системы второго порядка. Обозначим
)()(
1
xyxy
=
и )(')(
2
xyxy
=
. Поскольку )())'('()(''
'
2
xyxyxy == , то получим
−=
=
),exp(
,
1
'
2
2
'
1
xyy
yy
=
=
.1)0(
,1)0(
2
1
y
y
Решим задачу численно , используя алгоритм Рунге – Кутта с фиксированным
шагом на сетке из 20 равноотстоящих узлов.
Фрагмент рабочего документа MathCAD, содержащий вычисления и
график, приведен ниже.
y''expx− y⋅()y 0() 1, y' 0() 1, ORIGIN 1:=
Dxy,()
y
2
expx− y
1
⋅
()
:= y
1
1
:= Yrkfixedy 0, 3, 30, D,():=
0123
5
10
Y
2
〈〉
Y
1
〈〉
Y
1 2 3
1
2
3
4
5
6
7
8
011
0.11.1051.095
0.21.2191.179
0.31.341.251
0.41.4691.313
0.51.6021.363
0.61.7411.403
0.71.8831.434
=
Указание. Определите вектор
y
и вектор-функцию
)
,
(
y
x
D
как
матрицы размерности
)
1
2
(
×
. Присвойте компонентам вектора
y
начальные
значения , а компонентам вектора
)
,
(
y
x
D
- выражения для правых частей
уравнений системы . В остальном действуйте так же, как в предыдущих
примерах . 
                                                               9
    1.3 Решение задачи Коши для дифференциальных уравнений
высших порядков

       Найдем на отрезке [0,3] приближенное решение уравнения y ' ' =e −xy ,
удовлетворяющее начальным условиям                                 y (0) =1 ,   y ' (0) =1 , и построим
график найденного решения.
     Сведем решение задачи для уравнения второго порядка к задаче для
эквивалентной нормальной системы второго порядка. Обозначим
y1 ( x) = y ( x ) и y2 ( x ) = y ' ( x) . Поскольку y ' ' ( x ) =( y ' ( x ))' = y2' ( x ) , то получим
     �  '
     �y1 = y2 ,             �y1 (0) =1,
     � '                    �
     �
     �y2 =exp(−xy1 ),       �y2 (0) =1.
Решим задачу численно, используя алгоритм Рунге – Кутта с фиксированным
шагом на сетке из 20 равноотстоящих узлов.
     Фрагмент рабочего документа MathCAD, содержащий вычисления и
график, приведен ниже.


        y''     exp(−x ⋅ y) ,y(0)         1 , y'(0)       1            ORIGIN:=1
                      �        y2    �
                                                      y :=�
                                                            1 �
        D(x ,y) :=�                  �                    � �          Y :=rkfixedy
                                                                                 ( ,0 ,3 ,30 , D)
                      � exp(−x ⋅ y1) �                        �1 �
                                                                                1       2       3
                     10
                                                                          1         0       1       1
                                                                          2     0.1 1.105 1.095
                                                                          3     0.2 1.219 1.179
              Y ��
                 2
                     5
                                                                     Y=   4     0.3     1.34 1.251
                                                                          5     0.4 1.469 1.313
                                                                          6     0.5 1.602 1.363
                          0    1          2           3                   7     0.6 1.741 1.403
                                   Y ��
                                      1
                                                                          8     0.7 1.883 1.434



       Указание. Определите вектор y и вектор-функцию D ( x , y ) как
матрицы размерности ( 2 ×1) . Присвойте компонентам вектора y начальные
значения, а компонентам вектора D ( x, y ) - выражения для правых частей
уравнений системы. В остальном действуйте так же, как в предыдущих
примерах.

Страницы