Физические основы механики. Евстифеев В.В - 131 стр.

  Разделяя переменные в формуле (4) и интегрируя, получим:
                                         
                                                               
                               v  v 0  gt  2t v 0 ,   t 2 g,  .
                                                       
                                                                                               (5)
  Подставляя выражение (5) в (1), получим выражение для ускоре-
    
ния a во втором приближении:
             
                                  
                                                                 
            a  g  2 v 0 ,   2t g,   4t v 0 ,  ,   2t 2 g, ,                   (6)

               g  2v ,   2t g,   4t v , ,   2t
           dv                      
или
                          
                           0
                                                    
                                                      0
                                                                     2
                                                                         g,  ,   .    (7)
           dt
  Опять разделяя переменные в уравнении (7) и интегрируя, полу-
чим:
                 
                                       
                                                         
                                                                2
                                                                  3
                                                                           
       v  v 0  gt  2t v 0 ,   t 2 g,   2t 2 v 0 ,  ,   t 3 g, ,  .
                               
                                                                                               (8)

  Такую процедуру можно продолжить и дальше, но мы ограни-
чимся вторым приближением. Запишем уравнение (8) в виде

                                                          
       
      dr                                                       2        
          v 0  gt  2t v 0 ,   t 2 g,   2t 2 v 0 ,  ,   t 3 g, ,  .
                                                           
                                                                                               (9)
      dt                                                          3
  Разделяя в формуле (9) переменные и интегрируя, получим:
                               1                
                                                     
                  r  r0  v 0t  gt 2  t 2 v 0 ,  
                                 2
                                                         t3  
                                                          3
                                                            g,  
                                                                     .                        (10)
                           2 3
                           3
                                      
                                    
                          t v 0,  ,  
                                            t4   
                                             6
                                                g, , 
   Если тело падает без начальной скорости ( v0  0 ), то его смеще-
                                                   
ние из начального положения r0 в конечное r будет равно
  
S  r  r0 . Тогда с учетом формулы (10) имеем
                        1      1   1               
                       S  gt 2  t 3 g,   t 4 g, ,  .                              (11)
                          2      3            6
    Введем прямоугольную систему координат X , Y , Z  с началом в
точке A, где находится тело. При этом ось X направлена по параллели
на восток, ось Y – по меридиану к экватору, ось Z – по отвесу вниз,
                       
т. е. по направлению g (рис. 61). Угол  определяет географиче-




                                              128