Физические основы механики. Евстифеев В.В - 236 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

раметра от времени, т. е. в систем
е будут происходить параметриче-
ские колебания.
Примером осциллятора с параметрическими колебаниями может
служить математический маятник с периодически изменяющейся
длиной. Если периодически изменять длину маятника, увеличивая ее
в моменты, когда маятник находится в крайних положениях, и
уменьшая, когда он проходит положение равновесия, то маятник
сильно раск
ачается. При этом увеличение энергии маятника проис-
ходит за счет работы, совершаемой силой, действующей на нить.
Предположим, что квадрат собственной частоты осциллятора за-
висит от времени по закону:
tt sin1
2
0
2
0
,
где – частота внешн
его воздействия;
0
1
~
– малый параметр.
Тогда уравнение (1) перепишем в виде


0sin1
2
2
0
2
2
txt
dt
dx
dt
xd
. (2)
В нулевом приближении
txtx
00
sin
(где для простоты счита-
ем, что ). В первом прибли
жении при подстановке 0
tx в (2)
будут отличны от нуля члены с и , причем последний имеет
вид
1

tt
x
txt
00
2
00
00
2
0
coscos
2
sinsin

. (3)
При произвольном значении
левая и правая части равенства (3)
сложны. Однако, если положить
0
2
, то правая часть значитель-
но упростится:

tt
x
ttx
00
2
00
000
2
0
3coscos
2
sin2sin
 . (4)
В этом случае появляется гармоническая функция исходной час-
тоты и кроме этого, как в анг
армонических колебаниях, в реше-
0
231
раметра от времени, т. е. в системе будут происходить параметриче-
ские колебания.
   Примером осциллятора с параметрическими колебаниями может
служить математический маятник с периодически изменяющейся
длиной. Если периодически изменять длину маятника, увеличивая ее
в моменты, когда маятник находится в крайних положениях, и
уменьшая, когда он проходит положение равновесия, то маятник
сильно раскачается. При этом увеличение энергии маятника проис-
ходит за счет работы, совершаемой силой, действующей на нить.
   Предположим, что квадрат собственной частоты осциллятора за-
висит от времени по закону:
                             0 2 t   0 2 1   sin   t  ,
                                                               1
где  – частота внешнего воздействия;  ~                         – малый параметр.
                                                              0
Тогда уравнение (1) перепишем в виде
                d 2x
                     2
                         
                             2 dx
                              dt
                                                         
                                   02 1   sin  t x t   0 .                  (2)
                dt
   В нулевом приближении x t   x0 sin 0t (где для простоты счита-
ем, что   0 ). В первом приближении при подстановке x t  в (2)
будут отличны от нуля члены с 1 и  , причем последний имеет
вид
                                        x002
    02 sin  t  x0 sin 0t               cos  0 t  cos  0 t  .   (3)
                                           2
   При произвольном значении  левая и правая части равенства (3)
сложны. Однако, если положить   20 , то правая часть значитель-
но упростится:
                                               x002
         02 x0 sin 20t sin 0t                  cos 0t  cos 30t  .       (4)
                                                  2
   В этом случае появляется гармоническая функция исходной час-
тоты 0 и кроме этого, как в ангармонических колебаниях, в реше-




                                              231

Страницы