Физические основы механики. Евстифеев В.В - 234 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

подстановки (2) в (1) с уч
етом тригонометрического тождества:
111
3
3sin
4
1
sin
4
3
sin
(где
t
1
). Получаем, что правая
часть уравнения (1) содержит не только основную частоту
, но и
частоту (частоту третьей гармоники). Соответственно реш
ение
уравнения (1) следует искать в виде
3
)(3sin)sin()(
00
tstt , (3)
где
s – безразмерный параметр.
Подстановка (3) в (1) дает в правой части уравнения помимо час-
тот и еще и частоту
3
9
. Это свидетельствует о том, что реше-
ние (3) не является полным (в нем отсутствуют высшие гармоники:
, и т. д.).
9 27
Бу
дем искать решение уравнения (1) в виде (3) предполагая, что
амплитуда колебаний достаточно невелика, так что
1
s . Для про-
стоты положим
0
. Опуская величины порядка малости и вы-
ше, каждый член уравнения (1) запишем в виде:
2
s
tst
dt
d
3sin9sin
0
2
0
2
2
2
;
tst 3sinsin
0
2
00
2
0
2
0
; (4)
ttstt
3sinsin
2
3sin
24
sin
24
3
6
23
0
2
0
3
0
2
0
3
0
2
0
3
2
0
Отбросим тре
тье слагаемое последнего равенства как малое по
сравнению с двумя первыми и с учетом уравнения (4) запишем урав-
нение (1) в виде:
03sin)
24
1
9(
sin)
24
3
(
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
tss
t
(5)
Равенство (5) выполняется для любого момента времени, если
суммы в скобках равны нулю:
0
24
3
2
0
2
0
2
0
2
(5')
229
подстановки (2) в (1) с учетом тригонометрического тождества:
         3         1
sin 3 1  sin 1  sin 31 (где 1   t   ). Получаем, что правая
         4         4
часть уравнения (1) содержит не только основную частоту  , но и
частоту 3 (частоту третьей гармоники). Соответственно решение
уравнения (1) следует искать в виде
                   (t )   0 sin(   t  )  s 0 sin 3(   t  ) ,   (3)
где s – безразмерный параметр.
   Подстановка (3) в (1) дает в правой части уравнения помимо час-
тот  и 3 еще и частоту 9 . Это свидетельствует о том, что реше-
ние (3) не является полным (в нем отсутствуют высшие гармоники:
9 , 27 и т. д.).
   Будем искать решение уравнения (1) в виде (3) предполагая, что
амплитуда колебаний достаточно невелика, так что s  1 . Для про-
стоты положим   0 . Опуская величины порядка малости s2 и вы-
ше, каждый член уравнения (1) запишем в виде:
                  d 2
                           20 sin  t  92s0 sin 3 t ;
                   dt 2
                    02  02 0 sin  t  02s0 sin 3 t ;               (4)

    02 3   32             2               2
         0 30 sin  t  0 30 sin 3 t  0 s30 sin 2  t sin 3 t
    6        24             24                2
   Отбросим третье слагаемое последнего равенства как малое по
сравнению с двумя первыми и с учетом уравнения (4) запишем урав-
нение (1) в виде:
                                     3 2 2
                  0 ( 2  02         ) sin  t 
                                    24 0 0                                  (5)
                                          1 2 2
                   0 ( 92 s  02 s      ) sin 3 t  0
                                          24 0 0
   Равенство (5) выполняется для любого момента времени, если
суммы в скобках равны нулю:
                                           3 2 2
                             2  02       00  0                      (5')
                                           24


                                        229

Страницы