Физические основы механики. Евстифеев В.В - 232 стр.

получим уравнение движения шарика:
                                                                 F
      mx  x  kx  F0 sin   t или x  2  x  02 x  0 sin   t . (1)
                                                                  m
   Маятник в установившемся режиме будет совершать гармониче-
ские колебания
                     x (t )  x 0 sin(   t  ) ,       (2)
амплитуду x0 и начальную фазу  которых можно определить под-
становкой выражения (2) в (1).
   Проведем математические выкладки, используя метод комплекс-
ных амплитуд. Согласно формуле Эйлера
              ~
              x (t )  x 0 exp(i (   t  ))  x 0 exp(i ) exp(i   t ) 
              x 0 cos(  t  )  ix 0 sin(   t  ) .                         (2')
   Откуда видно, что решение уравнения (2) является мнимой ча-
стью комплексного выражения: x (t )  Im ~ x (t )  Im ~
                                                       x 0 exp(i   t ) , где
x~0  x 0 exp(i ) – комплексная амплитуда. Теперь уравнение (1) за-
пишем в виде
                                             F~
                        x  2 ~
                        ~        x  02 ~
                                          x  0 exp(i   t ) .                    (3)
                                              m
   После подстановки формулы (2') в (3) имеем
                                                             F~0
              ( 2  2i   02 ) x~0 exp(i   t )           exp(i   t ) .   (4)
                                                              m
   Отсюда получаем:
                                                  F~0
                             ~
                             x0                                .                  (5)
                                    m( 02  2  2i )
   Из выражения (5) находим амплитуду колебаний x0  ~
                                                     x0 :
                                                        F0
                   x0     ~  x0* 
                           x0 ~                                         ,          (6)
                                      m   ( 02    2 ) 2  422
и фазу  :
                                    Im x~0     2
                            tg                    .                             (7)
                                    Re x~0     02
                                              2




                                          227