Физические основы механики. Евстифеев В.В - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Требу
ется определить отношение масс двух планет, имеющих
спутники и дви
ско
жущихся по круговым орбитам вокруг Солнца. По-
льку планеты имеют спутники, в действительности по орбите ра-
диуса
R вращается вокруг Солнца центр масс системы "планета–
спутник" с массой
сппл
mm
(
пл
m – масса планеты,
сп
m – масса
спутника). Воспользуемся уравнением (5) и запишем для каждой из
двух систем "планета–спутник" уравнения движения в виде
2
сп
2
m
r
2
1пл1
m
2пл2сп
2
2
2сп
2
2
1
1
1сп
1
r
mm
r
r
, (6)
где
1
r и r – расстояния от спутников до планет для соответствую-
щей системы;
2
1пл1сп
1плсп1
1
mm
mm
,
пл2сп2
пл22сп
2
mm
mm
– (7)
приведенные массы для соответствующей системы. Подставляя вы-
ражение (7) в (6) и принимая во внимание, что циклическая частота
обращения спутника вокруг планеты равна
T
2
(Т – период об-
ращения), получим:
2
3
1
2
1сп1пл
4
T
r
mm
2
2сп
3
2
2
2сп2пл
1сп
4
T
r
m
. (8)
Так как масса спутника много меньше массы планеты
m
(
пл1сп
и
2пл2сп
mm
1
mm 
), то, пренебрегая массами
1сп
m и
2сп
m в уравнении (8) и деля одно уравнение на другое, получим для
отношения масс
двух планет выражение
2
1сп
2
2сп
3
2
3
1
2пл
1пл
T
T
r
r
m
m
. (9)
70 
   Требуется определить отношение масс двух планет, имеющих
спутники и движущихся по круговым орбитам вокруг Солнца. По-
скольку планеты имеют спутники, в действительности по орбите ра-
диуса R вращается вокруг Солнца центр масс системы "планета–
спутник" с массой mпл  mсп ( mпл – масса планеты, mсп – масса
спутника). Воспользуемся уравнением (5) и запишем для каждой из
двух систем "планета–спутник" уравнения движения в виде
                                        mсп1mпл1 
                         12сп1r1                
                                           r12      
                                                    ,                    (6)
                              2          m     m
                                          сп 2 пл 2 
                          2 сп 2r2  
                                             r22    
                                                    
где r1 и r2 – расстояния от спутников до планет для соответствую-
щей системы;
                       mсп1 mпл1          mсп 2mпл2
               1                , 2              –                    (7)
                      mсп1  mпл1        mсп2  mпл2
приведенные массы для соответствующей системы. Подставляя вы-
ражение (7) в (6) и принимая во внимание, что циклическая частота
                                                           2
обращения спутника вокруг планеты равна                     (Т – период об-
                                                           T
ращения), получим:
                                           4 2 r1
                                                  3  
                        mпл1  mсп1                 
                                             T2     
                                                сп1
                                                  3
                                                      .                  (8)
                                           4 2 r 2 
                        mпл 2  mсп 2                
                                             T2 
                                                сп 2 

  Так   как   масса спутника много меньше массы планеты
( mсп1  mпл1 и mсп 2  mпл 2 ), то, пренебрегая массами mсп1 и
mсп 2 в уравнении (8) и деля одно уравнение на другое, получим для
отношения масс двух планет выражение
                           mпл1    r3 T 2
                                  1 сп 2 .                               (9)
                           mпл 2   r 23 T сп
                                           2
                                             1



                                   70

Страницы