ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
29
V. Найдите пределы, используя правило Лопиталя:
1.
992
12
lim
2
2
3
+−
−+
→
xx
xx
x
.
2.
73
13
lim
4
3
+
−
∞→
x
xx
x
.
3.
1
sin
lim
0
−
→
x
x
e
x
.
4.
15
324
lim
2
3
−+
+−
∞→
xx
xx
x
.
5.
)ln(lim
2
0
xx
x
⋅
→
.
6.
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−⋅
∞→
x
x
ex
1
2
1lim .
7.
x
x
x
1
)(lim
∞→
.
8.
)2ln(
)3ln(ln
lim
2
2
−
−
→
x
x
x
.
9.
x
x
x
sin
arcsin
lim
0→
.
10.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
−
→
eex
x
x
1
1
1
lim
1
.
ОТВЕТЫ
I. 1. 17; 2. 2,5; 3.
∞
; 4. 0; 5. 0; 6.
∞
; 7. -1; 8. 0; 9.
2
1
при
+
∞→
x
; -3
при
−∞→
x
; 10. 9; 11. 2; 12.
3
2
− ;
13. -1; 14.
8
5
;
15. -2; 16. -6; 17.
4
1
;
18.
41−
; 19.-3; 20.
21
−
; 21. 0; 22. 0; 23.
61
; 24. 0.
II. 1. 52 ; 2. 32 ; 3. 4; 4. 1; 5. 0; 6. 1,5; 7.
21
; указание: замена пере-
менной
yx =arcsin ; 8.
31
; 9.
5
e ; 10.
2
1 e ; 11.
3
1 e ; 12.
2
3
e ; 13. e1 ;
14. 0,1; 15. 0; 16. 2.
III. ;
3
lim
2
03
−∞=
−
−→
x
x
x
+∞=
−
+→
3
lim
2
03
x
x
x
.
IV. 1.
21
; 2.
23
; 3. 2; 4.
3ln
; 5.
32
; 6. 2.
V. 1.
21
; 2. 0; 3. 1; 4.
∞
; 5. 0; 6. -0,5; 7. 1; 8. 1; 9. 1; 10.
∞
.
ПРИЛОЖЕНИЕ
))((
22
bababa +−=− (1П)
222
2)( bababa +±=± (2П)
29
V. Найдите пределы, используя правило Лопиталя:
x 2 + x −12 x 3 −13x
1. lim 2 . 2. lim 4 .
x → 3 2 x −9 x + 9 x →∞ 3 x + 7
sin x 4 x 3 − 2 x +3
3. lim x . 4. lim 2 .
x →0 e − 1 x → ∞ x + 5 x −1
⎛ 1
⎞
5. lim( x ⋅ ln 2 x) . 6. lim x 2 ⋅ ⎜⎜1 − e x ⎟⎟ .
x →0 x →∞
⎝ ⎠
1
ln ln( x − 3)
2
7. lim( x) x
. 8. lim .
x →∞ x→2 ln( x − 2)
arcsin x ⎛ 1 1 ⎞
9. lim . 10. lim⎜ − x ⎟.
x →1 x − 1 e −e⎠
x →0 sin x ⎝
ОТВЕТЫ
1
I. 1. 17; 2. 2,5; 3. ∞ ; 4. 0; 5. 0; 6. ∞ ; 7. -1; 8. 0; 9. при x → +∞ ; -3
2
2 5 1
при x → −∞ ; 10. 9; 11. 2; 12. − ; 13. -1; 14. ; 15. -2; 16. -6; 17. ;
3 8 4
18. − 1 4 ; 19.-3; 20. − 1 2 ; 21. 0; 22. 0; 23. 1 6 ; 24. 0.
II. 1. 2 5 ; 2. 2 3 ; 3. 4; 4. 1; 5. 0; 6. 1,5; 7. 1 2 ; указание: замена пере-
3
менной arcsin x = y ; 8. 1 3 ; 9. e 5 ; 10. 1 e 2 ; 11. 1 e3 ; 12. e 2 ; 13. 1 e ;
14. 0,1; 15. 0; 16. 2.
x2 x2
III. lim = −∞; lim = +∞ .
x→3−0 x − 3 x→3+ 0 x − 3
IV. 1. 1 2 ; 2. 3 2 ; 3. 2; 4. ln 3 ; 5. 2 3 ; 6. 2.
V. 1. 1 2 ; 2. 0; 3. 1; 4. ∞ ; 5. 0; 6. -0,5; 7. 1; 8. 1; 9. 1; 10. ∞ .
ПРИЛОЖЕНИЕ
a 2 − b 2 = (a − b)(a + b) (1П)
(a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 (2П)
