Функция и ее предел. Фадеев Ю.А - 3 стр.

                                          3

бы она сходилась к точке x0 , то ее можно составить различными спо-
собами. Следовательно, и последовательностей (2) можно составить
сколь угодно. Если все последовательности (2) имеют предел равный
числу А , то функция y = f (x) имеет в точке x0 предел, равный А .
       Если хотя бы одна из последовательностей (2) имеет предел
отличный от А или не имеет предела, то в точке x0 функция y = f (x)
предела не имеет.
     Окрестностью точки x0 называется любой интервал с центром
в точке x0 .
      Пусть функция f (x) задана в некоторой окрестности точки         x0 ,
кроме, быть может, самой точки x0 .
     Определение (по Коши). Число А называется пределом функ-
ции f ( x) в точке x0 (или при x → x0 ) если для любого сколь угодно
малого числа ε > 0 найдется такое положительное число δ > 0 (зави-
сящее от ε , δ = δ (ε ) ), что для всех x , не равных x0 ( x ≠ x0 ) и удов-
летворяющих              условию   x − x0 < δ ,   выполняется   неравенство
 f ( x) − A < ε .
Обозначение: lim f ( x) = A .
                    x → x0

      Геометрический смысл предела функции в точке (рис. 1). Не-
равенство   f ( x) − A < ε равносильно двойному неравенству
A − ε < f ( x) < A + ε , соответствующему расположению части графика
в полосе шириной 2ε . Аналогично неравенство x − x0 < δ равно-
сильно двойному неравенству x0 − δ < x < x0 + δ , соответствующему
попаданию точек x в δ -окрестность точки x0 .