Функция и ее предел. Фадеев Ю.А - 5 стр.

                                    5

      Геометрический смысл        предела функции в бесконечности
(рис. 2).




                                   Рис. 2.

     Неравенство    f ( x) − A < ε равносильно двойному неравенству
 A − ε < f ( x) < A + ε , соответствующему расположению части графика
в полосе шириной 2ε .
       Число A есть предел функции f (x) при x → ∞ , если для любо-
го ε > 0 найдется такое число S > 0 , что для всех x таких, что x > S ,
соответствующие ординаты графика функции f (x) будут заключены
в полосе A − ε < y < A + ε , какой бы узкой эта полоса ни была.

          ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ПРИ СТРЕМЛЕНИИ
       К БЕСКОНЕЧНОСТИ ОПРЕДЕЛЕННОГО ЗНАКА

      Для введения предела функции при стремлении к бесконечно-
сти определенного знака, необходимо, чтобы функция f (x) была за-
дана на таком множестве X , которое для любого δ > 0 имело хотя бы
один элемент, лежащий правее δ (соответственно левее δ ).
      Определение. Число А называется пределом функции f (x)
при x → +∞ (соответственно x → −∞ ), если для любого положитель-
ного числа ε > 0 найдется такое положительное число δ > 0 (завися-
щее от ε , δ = δ (ε ) ), что для всех значений аргумента x , удовлетво-
ряющих условию x > δ ( соответственно x < −δ ), выполняется нера-
венство f ( x) − A < ε .