Функция и ее предел. Фадеев Ю.А - 4 стр.

                                       4

                      y                     f(x)
               A+ε

                                                     2ε
                  A
               A−ε

                             x0 − δ    x0   x0 + δ     x
                                  Рис. 1.

        Число A есть предел функции f (x) при x → x0 , если для любо-
го ε > 0 найдется такая δ -окрестность точки x0 , что для всех x ≠ x0
из этой окрестности, соответствующие ординаты графика функции
 f ( x) будут заключены в полосе A − ε < y < A + ε , какой бы узкой эта
полоса ни была.
        Замечание. Определение предела не требует существования
функции в самой точке x0 , т.к. рассматривает значения x ≠ x0 в неко-
торой окрестности точки x0 . Т.е. рассматривая lim f ( x) , предполага-
                                                   x→ x0

ем, что x стремится к x0 , но не достигает значения x0 .

          ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ

       Пусть множество X , на котором задана функция f ( x) , для лю-
бого δ > 0 имеет хотя бы один элемент, лежащий вне отрезка
[− δ , + δ ] .
       Определение. Число А называется пределом функции f ( x) при
x → ∞ , если для любого сколь угодно малого положительного числа
ε > 0 найдется такое положительное число S > 0 (зависящее от ε ,
S = S (ε ) ), что для всех x , удовлетворяющих условию x > S , спра-
ведливо неравенство f ( x) − A < ε .
     Обозначение: lim f ( x) = A .
                      x →∞