Функция и ее предел. Фадеев Ю.А - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КузГТУ | Кемерово

Составители: 

Рубрика: 

6
Обозначение: Axf
x
=
+∞→
)(lim (соответственно Axf
x
=
−∞→
)(lim ).
ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ
Для введения одностороннего (т.е. правого или левого) предела
функции в точке
0
x потребуем, чтобы множество
X
, на котором за-
дана функция
)(xf
, для любого 0>
δ
имело хотя бы один элемент,
принадлежащий интервалу
(
)
δ
+
00
, xx (соответственно интервалу
()
00
, xx
δ
− ). Т.е. в определении предела функции потребовать, чтобы
x
стремилось к
0
x не любым способом, а только справа (оставаясь,
все время больше
0
x ) или только слева (оставаясь, все время меньше
0
x ).
Определение. Число А называется пределом справа (соответ-
ственно пределом слева) функции )(xf в точке
0
x , если для любого
положительного числа
0>
ε
найдется такое число 0>
δ
(зависящее
от
ε
, )(
ε
δ
δ
= ), что для всех значений аргумента
x
, удовлетворяю-
щих условию
δ
+
<
<
00
xxx (соответственно условию
00
xxx
<
<
−
δ
),
выполняется равенство
ε
<− Axf )( .
Пределы справа и слева называются односторонними предела-
ми.
Обозначение:
Axf
xx
=
+→
)(lim
0
0
(соответственно
Axf
xx
=
−→
)(lim
0
0
).
Если функция имеет в какой-либо точке односторонние преде-
лы, причем
)(lim)(lim
00
00
xfxf
xxxx −→+→
=
, то их значение будет равно
)(lim
0
xf
xx→
, т.е.
)(lim)(lim)(lim
000
00
xfxfxf
xxxxxx →−→+→
=
=
. 
                                                               6

Обозначение: lim f ( x) = A (соответственно lim f ( x) = A ).
                    x → +∞                                                  x → −∞



                             ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ

        Для введения одностороннего (т.е. правого или левого) предела
функции в точке x0 потребуем, чтобы множество X , на котором за-
дана функция f (x) , для любого δ > 0 имело хотя бы один элемент,
принадлежащий интервалу (x0 , x0 + δ ) (соответственно интервалу
(x0 − δ , x0 ) ). Т.е. в определении предела функции потребовать, чтобы
x стремилось к x0 не любым способом, а только справа (оставаясь,
все время больше x0 ) или только слева (оставаясь, все время меньше
x0 ).
        Определение. Число А называется пределом справа (соответ-
ственно пределом слева) функции f (x) в точке x0 , если для любого
положительного числа ε > 0 найдется такое число δ > 0 (зависящее
от ε , δ = δ (ε ) ), что для всех значений аргумента x , удовлетворяю-
щих условию x0 < x < x0 + δ (соответственно условию x0 − δ < x < x0 ),
выполняется равенство f ( x) − A < ε .
      Пределы справа и слева называются односторонними предела-
ми.
Обозначение: lim f ( x) = A    (соответственно lim f ( x) = A ).
                    x → x0 + 0                                                       x → x0 − 0

      Если функция имеет в какой-либо точке односторонние преде-
лы, причем lim f ( x) = lim f ( x) , то их значение будет равно
                    x → x0 + 0            x → x0 − 0

lim f ( x) , т.е.
x→ x0

                                 lim f ( x) = lim f ( x) = lim f ( x) .
                             x → x0 + 0           x → x0 − 0       x → x0

Страницы