Функция и ее предел. Фадеев Ю.А - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КузГТУ | Кемерово

Составители: 

Рубрика: 

7
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ
Пусть две функции )(xf и )(xg заданы на одном и том же
множестве
X
и имеют в точке
0
x (или на
∞
) пределы Axf
xx
=
∞→
)(lim
)(
0
,
Bxg
xx
=
∞→
)(lim
)(
0
.
I.
Предел постоянной равен самой постоянной
СС
xx
=
∞→ )(
0
lim (3)
II.
Предел суммы (разности) конечного числа функций равен
сумме (разности) пределов этих функций
[]
BAxgxfxgxf
xxxxxx
±
=
±
=
±
∞→∞→∞→
)(lim)(lim)()(lim
)()()(
000
(4)
III.
Предел произведения функций равен произведению пределов
этих функций, т.е.
[
]
BAxgxfxgxf
xxxxxx
⋅
=
⋅
=
⋅
∞→∞→∞→
)(lim)(lim)()(lim
)()()(
000
(5)
IV.
В частности, постоянный множитель можно выносить за знак
предела, т.е.
[
]
Akxfkxfk
xxxx
⋅
=
=
⋅
∞→∞→
)(lim)(lim
)()(
00
(6)
V.
Предел частного двух функций равен частному пределов этих
функций (при условии
0)(lim
)(
0
≠
=
∞→
Bxg
xx
) т.е.
B
A
xg
xf
xg
xf
xx
xx
xx
==
∞→
∞→
∞→
)(lim
)(lim
)(
)(
lim
)(
)(
)(
0
0
0
(7)
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ
ФУНКЦИИ
Определение. Функция )(x
α
называется бесконечно малой,
если ее предел существует и равен нулю, т.е. 
                                                             7

                 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ

     Пусть две функции f (x) и g (x) заданы на одном и том же
множестве X и имеют в точке x0 (или на ∞ ) пределы lim f ( x) = A ,
                                                                                       x → x0 ( ∞ )

  lim g ( x) = B .
x → x0 ( ∞ )



      I. Предел постоянной равен самой постоянной
                               lim С = С                                                              (3)
                                                x → x0 ( ∞ )

      II. Предел суммы (разности) конечного числа функций равен
          сумме (разности) пределов этих функций
                lim [ f ( x) ± g ( x)] = lim f ( x) ± lim g ( x) = A ± B (4)
                x → x0 ( ∞ )                        x → x0 ( ∞ )        x → x0 ( ∞ )



      III. Предел произведения функций равен произведению пределов
           этих функций, т.е.
                   lim [ f ( x) ⋅ g ( x)] = lim f ( x) ⋅ lim g ( x) = A ⋅ B (5)
                   x → x0 ( ∞ )                      x → x0 ( ∞ )      x → x0 ( ∞ )



      IV. В частности, постоянный множитель можно выносить за знак
          предела, т.е.
                     lim [k ⋅ f ( x)] = k lim f ( x) = k ⋅ A (6)
                        x → x0 ( ∞ )                    x → x0 ( ∞ )



      V. Предел частного двух функций равен частному пределов этих
         функций (при условии lim g ( x) = B ≠ 0 ) т.е.
                                              x → x0 ( ∞ )


                                               f ( x) x →lim
                                                          x0 ( ∞ )
                                                                   f ( x) A
                                    lim                =                 =                            (7)
                                  x → x0 ( ∞ ) g ( x )   lim g ( x) B
                                                        x → x0 ( ∞ )



          БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ
                        ФУНКЦИИ

       Определение. Функция α (x) называется бесконечно малой,
если ее предел существует и равен нулю, т.е.

Страницы