Функция и ее предел. Фадеев Ю.А - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КузГТУ | Кемерово

Составители: 

Рубрика: 

9
3.
0→аргумент .
Следствие
k
x
kx
x
=
→
sin
lim
0
(8
*
)
Пример. Среди приведенных ниже пределов выбрать первый
замечательный предел
1.
1
)1sin(
lim
1
−
−
→
x
x
x
; 2.
1
)1sin(
lim
0
−
−
→
x
x
x
; 3.
x
x
x
1
)1sin(
lim
→∞
;
4.
2
)2sin(
lim
2
π
π
π
−
−
→
x
x
x
.
Пределы 1, 3, и 4 являются первыми замечательными, т.к. все
три условия, перечисленные в критерии распознавания первого заме-
чательного предела, выполнены. Во втором примере не выполнены
первое и третье условия, поэтому
1
)1sin(
lim
0
−
−
→
x
x
x
не является первым
замечательным пределом.
Вторым замечательным пределом (числом e) называется
предел
x
x
x
e
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
∞→
1
1lim
(9)
или
()
ex
x
x
=+
→
1
0
1lim (10)
Критерии для распознавания второго замечательного предела
а)
должна быть неопределенность вида
∞
1,
б)
1+ бесконечно малая,
в)
()
..
1
..1
мб
мб+ , в показателе степени стоит величина, обрат-
ная той бесконечно малой, которая прибавляется к числу 1.
Следствия из второго замечательного предела
1
)1ln(
lim
0
=
+
→
x
x
x
(11)
a
x
а
x
x
ln
1
lim
0
=
−
→
(12)
1
1
lim
0
=
−
→
x
e
x
x
(13)
()
μ
μ
=
−+
→
x
x
x
11
lim
0
(14) 
                                                  9

        3. аргумент → 0 .
                            sin kx
        Следствие                   =k
                                  lim                                (8*)
                               x  x →0

       Пример. Среди приведенных ниже пределов выбрать первый
замечательный предел
             sin( x − 1)            sin( x − 1)           sin(1 x)
    1. lim               ; 2. lim               ; 3. lim           ;
        x →1    x −1           x →0    x −1          x →∞   1x
                sin( x − π 2)
      4. lim                  .
        x→π   2    x −π 2
       Пределы 1, 3, и 4 являются первыми замечательными, т.к. все
три условия, перечисленные в критерии распознавания первого заме-
чательного предела, выполнены. Во втором примере не выполнены
                                        sin( x − 1)
первое и третье условия, поэтому lim                не является первым
                                   x →0    x −1
замечательным пределом.
       Вторым замечательным пределом (числом e ) называется
предел
                                                      x
                                           ⎛ 1⎞
                                  e = lim⎜1 + ⎟                       (9)
                                      x →∞
                                           ⎝ x⎠
или
                                              1
                                   lim(1 + x ) x = e                  (10)
                                   x →0

        Критерии для распознавания второго замечательного предела
          а) должна быть неопределенность вида 1∞ ,
          б) 1+ бесконечно малая,
                            1
            в) (1 + б. м.) б . м. , в показателе степени стоит величина, обрат-
ная той бесконечно малой, которая прибавляется к числу 1.
        Следствия из второго замечательного предела
           ln(1 + x)                               а x −1
     lim             =1             (11)      lim          = ln a    (12)
      x →0     x                              x →0    x
     lim
           ex −1
                  =1                (13)      lim
                                                   (1 + x )μ − 1 = μ (14)
      x →0   x                                x →0       x

Страницы