Функция и ее предел. Фадеев Ю.А - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КузГТУ | Кемерово

Составители: 

Рубрика: 

11
РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
ПО ПРАВИЛУ ЛОПИТАЛЯ
Теорема (Правило Лопиталя). Пусть две функции )(xf и
)(xg определены и дифференцируемы всюду в некоторой окрестно-
сти точки
0
x , за исключением, быть может, самой точки
0
x . Пусть,
далее,
0)(lim)(lim
00
=
=
→→
xgxf
xxxx
и производная
)(xg
′
отлична от нуля всюду в указанной окрестности
точки
0
x . Тогда, если существует (конечный или бесконечный) предел
)(
)(
lim
0
xg
xf
xx
′
′
→
,
то существует и предел
)(
)(
lim
0
xg
xf
xx→
, причем справедлива формула
)(
)(
lim
)(
)(
lim
00
xg
xf
xg
xf
xxxx
′
′
=
→→
. (24)
Замечание 1. Если производные
)(xf
′
и )(xg
′
удовлетворяют
тем же требованиям, что и сами функции
)(xf и )(xg , то правило
Лопиталя можно применить повторно:
)(
)(
lim
)(
)(
lim
)(
)(
lim
000
xg
xf
xg
xf
xg
xf
xxxxxx
′′
′
′
=
′
′
=
→→→
.
Применяя неоднократно правило Лопиталя, нужно каждый раз
проверять, раскрыта уже или нет неопределенность, иначе можно по-
лучить неверный результат.
Замечание 2. Правило Лопиталя справедливо, когда аргумент
x
стремится к бесконечному пределу
+
∞→
x
или
−
∞→
x
:
)(
)(
lim
)(
)(
lim
)()(
xg
xf
xg
xf
xx
′
′
=
−∞+∞→−∞+∞→
.
Замечание 3. Пусть две функции )(xf и )(xg определены и
дифференцируемы всюду в некоторой окрестности точки
0
x , за ис-
ключением, быть может, самой точки
0
x . Пусть, далее, 
                                           11

               РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
                   ПО ПРАВИЛУ ЛОПИТАЛЯ

       Теорема (Правило Лопиталя). Пусть две функции f (x) и
g (x) определены и дифференцируемы всюду в некоторой окрестно-
сти точки x0 , за исключением, быть может, самой точки x0 . Пусть,
далее,
                       lim f ( x) = lim g ( x) = 0
                             x → x0       x → x0

и производная g ′(x) отлична от нуля всюду в указанной окрестности
точки x0 . Тогда, если существует (конечный или бесконечный) предел
                                                 f ′( x)
                                         lim              ,
                                         x → x0 g ′( x )

                                      f ( x)
то существует и предел lim                    , причем справедлива формула
                              x → x0 g ( x )

                                       f ( x)               f ′( x)
                                lim             = lim                .           (24)
                                x → x0 g ( x )     x → x0 g ′( x )

      Замечание 1. Если производные f ′(x) и g ′(x) удовлетворяют
тем же требованиям, что и сами функции f (x) и g (x) , то правило
Лопиталя можно применить повторно:
                            f ( x)              f ′( x)               f ′′( x)
                    lim               = lim              = lim                 .
                    x → x0 g ( x )      x → x0 g ′( x )       x → x0 g ′′( x )

      Применяя неоднократно правило Лопиталя, нужно каждый раз
проверять, раскрыта уже или нет неопределенность, иначе можно по-
лучить неверный результат.
      Замечание 2. Правило Лопиталя справедливо, когда аргумент
x стремится к бесконечному пределу x → +∞ или x → −∞ :
                                       f ( x)                     f ′( x)
                            lim                = lim                       .
                         x → +∞ ( −∞ ) g ( x )     x → +∞ ( −∞ ) g ′( x )

      Замечание 3. Пусть две функции f (x) и g (x) определены и
дифференцируемы всюду в некоторой окрестности точки x0 , за ис-
ключением, быть может, самой точки x0 . Пусть, далее,

Страницы