Функция и ее предел. Фадеев Ю.А - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КузГТУ | Кемерово

Составители: 

Рубрика: 

13
функции, необходимо использовать понятие непрерывности функции
в точке (15), т.е. нужно в выражение функции вместо аргумента под-
ставить его предельное значение.
Пример 1. Найти )32(lim
7
+
→
x
x
.
Решение. На основании непрерывности функции 32)( +
=
xxf
в точке
7=x искомый предел равен значению функции в этой точке,
т.е.
17372)32(lim
7
=
+
⋅
=
+
→
x
x
.
Пример 2. Найти
3
0
5
lim
x
x→
.
Решение. Числитель дроби равен 5 и является функцией, пре-
дел которой отличен от нуля (55lim
0
=
→x
). Знаменатель дроби
3
x при
0→x
является бесконечно малой величиной (б.м.). Из связи между
бесконечно малыми и бесконечно большими величинами следует, что
3
1
x
при 0→x является бесконечно большой величиной, следователь-
но, искомый предел равен
∞
.
[]
∞=⋅=⋅==
→→→
..
1
5
1
lim5lim)5(используем
5
lim
3
00
3
0
мб
x
x
xxx
.
Пример 3. Найти
x
x
3
2
lim
+∞→
.
Решение. Числитель дроби равен 2 и является функцией, пре-
дел которой отличен от нуля (
22lim
=
+∞→x
). Знаменатель дроби
x3
при
+∞→
x
является бесконечно большой величиной (б.б.). Из связи ме-
жду бесконечно малыми и бесконечно большими величинами следует,
что
x
3
1
при +∞→
x
является бесконечно малой величиной, следова-
тельно, искомый предел равен нулю.
[]
0
..
1
2
3
1
lim2lim)5(используем
3
2
lim =⋅=⋅==
+∞→+∞→+∞→
бб
x
x
xxx
Пример 4. Найти
142
64
lim
2
2
3
+
−
+
→
x
x
x
x
. 
                                             13

функции, необходимо использовать понятие непрерывности функции
в точке (15), т.е. нужно в выражение функции вместо аргумента под-
ставить его предельное значение.
       Пример 1. Найти lim(2 x + 3) .
                           x →7

       Решение. На основании непрерывности функции f ( x) = 2 x + 3
в точке x = 7 искомый предел равен значению функции в этой точке,
т.е.
                        lim(2 x + 3) = 2 ⋅ 7 + 3 = 17 .
                             x →7

                            5
       Пример 2. Найти lim      .
                       x→ 0 x 3

      Решение. Числитель дроби равен 5 и является функцией, пре-
дел которой отличен от нуля ( lim 5 = 5 ). Знаменатель дроби x 3 при
                                     x →0

x → 0 является бесконечно малой величиной (б.м.). Из связи между
бесконечно малыми и бесконечно большими величинами следует, что
 1
    при x → 0 является бесконечно большой величиной, следователь-
 x3
но, искомый предел равен ∞ .
               5                                 1       1
         lim 3 = [используем (5)] = lim 5 ⋅ lim 3 = 5 ⋅       =∞.
          x →0 x                     x →0   x →0 x      б. м.
                                2
       Пример 3. Найти lim         .
                        x → +∞ 3 x

       Решение. Числитель дроби равен 2 и является функцией, пре-
дел которой отличен от нуля ( lim 2 = 2 ). Знаменатель дроби 3 x при
                                    x → +∞

x → +∞ является бесконечно большой величиной (б.б.). Из связи ме-
жду бесконечно малыми и бесконечно большими величинами следует,
     1
что     при x → +∞ является бесконечно малой величиной, следова-
    3x
тельно, искомый предел равен нулю.
                    2                                        1         1
             lim       = [используем (5)] = lim 2 ⋅ lim          = 2⋅      =0
            x → +∞ 3 x                         x → +∞ x → +∞ 3 x      б.б.
                                     4x2 + 6
       Пример 4. Найти lim 2                    .
                             x →3 2 x − 4 x + 1

Страницы