Функция и ее предел. Фадеев Ю.А - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КузГТУ | Кемерово

Составители: 

Рубрика: 

14
Решение. Применяя теоремы о пределах функций, получим
[] []
==
+−
+
==
+−
+
→
→
→
)4(используем
)142(lim
)64(lim
)7(используем
142
64
lim
2
3
2
3
2
2
3
xx
x
xx
x
x
x
x
=
+−⋅
+⋅
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
+−
+
=
→→→→
→→→
→→→
→→
1limlim4limlim2
6limlimlim4
5)(и(6)
используем
1lim4lim2lim
6lim4lim
3333
333
33
2
3
3
2
3
xxxx
xxx
xxx
xx
xxx
xx
xx
x
6
134332
6334
)15(функциитьнепрерывнс
используемфункций
ыхэлементарняопределени
областитпринадлежи3
=
+⋅−⋅⋅
+⋅⋅
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
x
.
Приведенные в решении выкладки будем использовать при
решении следующих примеров как заранее известные факты.
РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ
Часто подстановка предельного значения в функцию не дает
значения предела, такие случаи называются неопределенностями; к
ним относятся неопределенности видов
[][]
[]
[
]
[
]
00
0,,1,0,,
0
0
, ∞∞⋅∞−∞
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∞
∞
∞
.
Устранить неопределенности можно с помощью алгебраиче-
ских преобразований.
1 тип. Необходимо вычислить
)(
)(
lim
x
xf
x
ϕ
∞→
с неопределенностью
вида
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∞
∞
, где
)(xf
и
)(x
ϕ
- сложные степенные или показательные
функции. В случае степенных функций необходимо вынести за скобку
в числителе и в знаменателе дроби
x
с наибольшим показателем сте-
пени среди всех слагаемых дроби; в случае показательных функций за
скобку выносится наиболее быстро возрастающее слагаемое среди
всех слагаемых дроби. После сокращения дроби неопределенность
устраняется. 
                                           14

         Решение. Применяя теоремы о пределах функций, получим
        4x 2 + 6                         lim(4 x 2 + 6)
lim 2              = [используем (7)] = x →3 2            = [используем (4)] =
x →3 2 x − 4 x + 1                     lim(2 x − 4 x + 1)
                                         x →3

        lim 4 x + lim 6
               2
                              ⎡используем⎤         4 lim x ⋅ lim x + lim 6
=       x →3        x →3
                             =⎢           ⎥ =        x →3    x →3     x →3
                                                                                =
    lim 2 x − lim 4 x + lim1 ⎣
           2
                                (6) и (5) ⎦   2 lim x ⋅ lim x − 4 lim x + lim1
    x →3      x →3      x →3                    x →3    x →3      x →3     x →3

  ⎡ x = 3 принадлежит области ⎤
  ⎢ определения элементарных ⎥
=⎢                            ⎥ = 4 ⋅3⋅3 + 6 = 6 .
  ⎢функций используем         ⎥ 2 ⋅3⋅3 − 4 ⋅3 +1
  ⎢                           ⎥
  ⎣непрерывнсть функции (15) ⎦
        Приведенные в решении выкладки будем использовать при
решении следующих примеров как заранее известные факты.

                   РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
                         РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ

      Часто подстановка предельного значения в функцию не дает
значения предела, такие случаи называются неопределенностями; к
ним относятся неопределенности видов
                 ⎡∞ ⎤ ⎡0⎤
                                                [ ][ ][ ]
                 ⎢ ∞ ⎥, ⎢ 0 ⎥, [∞ − ∞], [0 ⋅ ∞], 1 , ∞ , 0 .
                                                  ∞      0   0

                 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
      Устранить неопределенности можно с помощью алгебраиче-
ских преобразований.
                                                    f ( x)
      1 тип. Необходимо вычислить lim                      с неопределенностью
                                               x →∞ ϕ ( x)


     ⎡∞ ⎤
вида ⎢ ⎥ , где f (x) и ϕ (x) - сложные степенные или показательные
     ⎣∞ ⎦
функции. В случае степенных функций необходимо вынести за скобку
в числителе и в знаменателе дроби x с наибольшим показателем сте-
пени среди всех слагаемых дроби; в случае показательных функций за
скобку выносится наиболее быстро возрастающее слагаемое среди
всех слагаемых дроби. После сокращения дроби неопределенность
устраняется.

Страницы