Функция и ее предел. Фадеев Ю.А - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КузГТУ | Кемерово

Составители: 

Рубрика: 

12
∞
=
=
→→
)(lim)(lim
00
xgxf
xxxx
, тогда отношение двух функций
)(
)(
xg
xf
пред-
ставляет собой при
0
xx → неопределенность вида
∞
∞
, для раскрытие
которой можно использовать правило Лопиталя (20).
Правило Лопиталя применяют для раскрытия неопределенно-
стей вида
[]
∞⋅0
, которая возникает, если требуется найти
[]
)()(lim
0
xgxf
xx
⋅
→
при условии 0)(lim
0
=
→
xf
xx
,
∞
=
→
)(lim
0
xg
xx
. В результате
преобразования
)(1
)(
)()(
xg
xf
xgxf
=⋅ (или
)(1
)(
)()(
xf
xg
xgxf
=⋅ ) получа-
ется неопределенность
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
0
0
(или
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∞
∞
).
Неопределенность
[
]
∞
−
∞
возникает, если требуется найти
[]
)()(lim
0
xgxf
xx
−
→
при условии ∞=
→
)(lim
0
xf
xx
и
∞
=
→
)(lim
0
xg
xx
. Используя
преобразование
)()(
1
)(1)(1
)()(
xgxf
xgxf
xgxf
⋅
−
=− , получим неопределен-
ность вида
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
0
0
, которую раскрывают по правилу Лопиталя.
Если имеется неопределенность вида
[
]
0
0 или
[
]
0
∞ , при вычис-
лении предела функции
[
]
)(
)(
xg
xf , то логарифм этой функции пред-
ставляет собой неопределенность вида
[]
∞
⋅
0 , при этом используется
соотношение:
)(ln)(lim
)(
)(
)(
0
0
)(lim
xfxg
xg
xx
xx
exf
∞→
=
∞→
. (25)
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ПРЕДЕЛОВ
Для того чтобы найти предел элементарной функции, когда ар-
гумент стремится к значению, принадлежащему области определения 
                                                      12

                                                                                                  f ( x)
lim f ( x) = lim g ( x) = ∞ , тогда отношение двух функций                                               пред-
x → x0       x → x0                                                                               g ( x)
                                                                ∞
ставляет собой при x → x0 неопределенность вида                   , для раскрытие
                                                                ∞
которой можно использовать правило Лопиталя (20).
          Правило Лопиталя применяют для раскрытия неопределенно-
стей вида [0 ⋅ ∞ ] , которая возникает, если требуется найти
 lim [ f ( x) ⋅ g ( x)] при условии lim f ( x) = 0 , lim g ( x) = ∞ . В результате
x → x0                                     x → x0                x → x0

                                    f ( x)                          g ( x)
преобразования f ( x) ⋅ g ( x) =            (или f ( x) ⋅ g ( x) =          ) получа-
                                   1 g ( x)                        1 f ( x)
                              ⎡0⎤        ⎡∞ ⎤
ется неопределенность ⎢ ⎥ (или ⎢ ⎥ ).
                              ⎣0⎦        ⎣∞ ⎦
          Неопределенность [∞ − ∞ ] возникает, если требуется найти
 lim [ f ( x) − g ( x)] при условии lim f ( x) = ∞ и lim g ( x) = ∞ . Используя
x → x0                                      x → x0                    x → x0

                                           1 f ( x) − 1 g ( x)
преобразование f ( x) − g ( x) =                               , получим неопределен-
                                                    1
                                              f ( x) ⋅ g ( x)
           ⎡0⎤
ность вида ⎢ ⎥ , которую раскрывают по правилу Лопиталя.
           ⎣0⎦
       Если имеется неопределенность вида 0 0 или ∞ 0 , при вычис- [ ]                      [ ]
лении предела функции [ f ( x)] , то логарифм этой функции пред-
                                             g ( x)


ставляет собой неопределенность вида [0 ⋅ ∞ ] , при этом используется
соотношение:
                                                           lim     g ( x ) ln f ( x )
                              lim f ( x) g ( x ) = e x→x0 ( ∞ )                         .                (25)
                            x → x0 ( ∞ )



            ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ПРЕДЕЛОВ

     Для того чтобы найти предел элементарной функции, когда ар-
гумент стремится к значению, принадлежащему области определения

Страницы