Функция и ее предел. Фадеев Ю.А - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КузГТУ | Кемерово

Составители: 

Рубрика: 

10
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
Функция
)(xf
называется непрерывной в точке
0
x , если она
удовлетворяет следующим трем условиям: 1) определена в точке
0
x
(т.е. существует )(
0
xf ); 2) имеет конечный предел при
0
xx → ; 3) этот
предел равен значению функции в точке
0
x , т.е.
)()(lim
0
0
xfxf
xx
=
→
. (15)
Непрерывность функции играет важную роль при нахождении
предела, т.к. если функция определена на промежутке
X
и непрерыв-
на в точке Xx ∈
0
, то непрерывность функции позволяет заменить за-
дачу вычисления предела в точке
0
x задачей вычисления значения
функции в этой точке.
Соотношение (15) можно записать в виде:
)lim()(lim
00
xfxf
xxxx →→
=
. (15
*
)
Т.е. для непрерывной функции можно переставить знак функции и
знак предела.
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
При решении задач используются эквивалентные преобразова-
ния, справедливые при
0→x
:
xx ~sin ; (16)
2
~cos1
2
x
x− ; (17)
x
tgx
~
; (18)
xx ~arcsin ; (19)
x
arctgx ~ ; (20) xx ~)1ln(
+
; (21)
n
x
x
n
~11 −+ ; (22)
axa
x
ln~1− ; (23) 
                                              10

                       НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

        Функция f (x) называется непрерывной в точке x0 , если она
удовлетворяет следующим трем условиям: 1) определена в точке x0
(т.е. существует f ( x0 ) ); 2) имеет конечный предел при x → x0 ; 3) этот
предел равен значению функции в точке x0 , т.е.
                                  lim f ( x) = f ( x0 ) .           (15)
                                    x → x0

       Непрерывность функции играет важную роль при нахождении
предела, т.к. если функция определена на промежутке X и непрерыв-
на в точке x0 ∈ X , то непрерывность функции позволяет заменить за-
дачу вычисления предела в точке x0 задачей вычисления значения
функции в этой точке.
       Соотношение (15) можно записать в виде:
                            lim f ( x) = f ( lim x) .        (15*)
                                  x → x0            x → x0

Т.е. для непрерывной функции можно переставить знак функции и
знак предела.

                  ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

       При решении задач используются эквивалентные преобразова-
ния, справедливые при x → 0 :
                                             x2
sin x ~ x ;            (16)   1 − cos x ~       ;   (17)     tgx ~ x ;         (18)
                                             2

arcsin x ~ x ;         (19)   arctgx ~ x ;          (20)     ln(1 + x) ~ x ;   (21)

                 x
n
    1 + x −1 ~     ;   (22)   a x − 1 ~ x ln a ;    (23)
                 n

Страницы