Функция и ее предел. Фадеев Ю.А - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КузГТУ | Кемерово

Составители: 

Рубрика: 

16
т.к. при +∞→
x
показательные функции
x
ay = , при
1
3
2
<=a
и
1
3
1
<=a стремятся к нулю, то
0
3
2
lim =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+∞→
x
x
0
3
1
lim =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+∞→
x
x
.
Пример 7. Найти
358
34
lim
33
2
−+
−+
+∞→
x
xx
x
.
Решение. Применяем теоремы о пределах, получим
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∞
∞
=
−+
−+
=
+∞→
358
34
lim
33
2
x
xx
A
x
.
Числитель и знаменатель дроби
– бесконечно большие функции,
поэтому имеем неопределенность вида
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∞
∞
. Чтобы выяснить, какова
наибольшая степень среди слагаемых дроби, сначала выносят
x
с
наибольшим показателем степени в выражениях под знаком радикала:
3
5
8
3
4
lim
3
5
8
3
4
lim
3
3
2
3
3
3
2
2
−+
−+
=
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
+∞→+∞→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
A
xx
.
Наибольшая степень первая, выносим за скобки
x
, получим:
2
1
008
104
35
8
1
3
4
lim
35
8
1
3
4
lim
3
3
3
2
3
3
2
=
−+
−+
=
−+
−+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
=
+∞→+∞→
xx
x
xx
x
x
x
A
xx
,
т.к.
x
x
x
3
,
5
,
4
32
- бесконечно малые величины при
+
∞→
x
.
2 тип. Необходимо вычислить
)(
)(
lim
0
x
xf
xx
ϕ
→
с неопределенностью
вида
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
0
0
. Для раскрытия неопределенности необходимо разложить на 
                                                16

                                                                            2
т.к. при x → +∞ показательные функции y = a x , при a =                       <1 и
                                                                            3
                                                     x          x
     1                                ⎛2⎞         ⎛1⎞
a=     < 1 стремятся к нулю, то lim ⎜ ⎟ = 0 lim ⎜ ⎟ = 0 .
     3                          x → +∞ 3    x → +∞ 3
                                      ⎝ ⎠         ⎝ ⎠
                                          4x2 + 3 − x
      Пример 7. Найти lim              .
                           8x3 + 5 − 3
                               x → +∞ 3

      Решение. Применяем теоремы о пределах, получим
                      4x2 + 3 − x
                          ⎡∞⎤
       A = lim          = ⎢ ⎥.
              8x + 5 − 3 ⎣ ∞ ⎦
           x → +∞ 3     3

     Числитель и знаменатель дроби – бесконечно большие функции,
                                     ⎡∞ ⎤
поэтому имеем неопределенность вида ⎢ ⎥ . Чтобы выяснить, какова
                                     ⎣∞ ⎦
наибольшая степень среди слагаемых дроби, сначала выносят x с
наибольшим показателем степени в выражениях под знаком радикала:
                        ⎛      3 ⎞                            3
                     x2 ⎜ 4 + 2 ⎟ − x             x 4+ 2 − x
                        ⎝      x ⎠                            x
       A = lim                           = lim                       .
           x → +∞
                       3⎛      5⎞          x → +∞              5
                  3 x ⎜8 +        ⎟ −3            x3 8 + 3 −3
                        ⎝      x3 ⎠                           x
      Наибольшая степень первая, выносим за скобки x , получим:
                    ⎛         3       ⎞                   3
                  x⎜⎜ 4 + 2 − 1⎟⎟                  4  +         −1
                    ⎝        x        ⎠                   x 2
                                                                       4 + 0 −1 1
       A = lim                          = lim                      =3          = ,
           x → +∞ ⎛                   ⎞ x →+∞ 3          5 3           8+0 −0 2
                             5      3
                  x⎜⎜ 3 8 + 3 − ⎟⎟                8+ 3 −
                    ⎝        x      x⎠                   x       x
             4 5 3
      т.к. 2 , 3 , - бесконечно малые величины при x → +∞ .
            x x x
                                                            f ( x)
      2 тип. Необходимо вычислить lim                              с неопределенностью
                                                    x → x0 ϕ ( x )

     ⎡0⎤
вида ⎢ ⎥ . Для раскрытия неопределенности необходимо разложить на
     ⎣0⎦

Страницы