Функция и ее предел. Фадеев Ю.А - 15 стр.

                                     15

                                         4x2 + 7x4
       Пример 5. Найти lim                              .
                                 x → +∞ 5 x 4 + x 2 − 1

         Решение. Применяя теоремы о пределах, получим
                     4 x2 + 7 x4      ⎡∞ ⎤
         A = lim 4                 =⎢ ⎥.
             x → +∞ 5 x + x − 1
                                      ⎣∞ ⎦
                            2

         Числитель и знаменатель дроби – бесконечно большие функ-
                                                            ⎡∞⎤
ции, поэтому имеем неопределенность вида ⎢ ⎥ . Для раскрытия не-
                                                            ⎣∞⎦
определенности, вынесем за скобку в числителе и знаменателе x с
наибольшим показателем степени - x 4 , получим
                ⎛ 4       ⎞                   4
             x4 ⎜ 2 + 7⎟                          +7
A = lim         ⎝  x      ⎠    = lim          x 2
                                                          =
    x → +∞
            4⎛       1    1 ⎞ x →+∞             1     1
           x ⎜5 + 2 − 4 ⎟                5+ 2 − 4
             ⎝      x     x ⎠                  x     x


  ⎡                                    1 4     1    ⎤
  ⎢ воспользуемся (7) и (4) и тем, что 2 , 2 и 4   −⎥    0+7   7
=                                     x x     x        =     =
  ⎢                                                 ⎥ 5+0−0 5
  ⎢⎣бесконечно малые при x → +∞                     ⎥⎦

                                       3x − 2 x
          Пример 6. Найти lim                   .
                                 x → +∞ 2 − 3 x

          Решение. При x → +∞ показательная функция y = a x , при
a > 1 стремится к + ∞ . Быстрее возрастает та функция, у которой ос-
нование больше, в данном случае быстрее возрастает 3 x , поэтому за
скобки выносим 3 x :
                 ⎛ 2x ⎞               2x              ⎛2⎞
                                                           x
            3 x ⎜⎜1 − x ⎟⎟       1− x             1 − ⎜ ⎟
 A = lim ⎝
                     3 ⎠
                           = lim      3 = lim         ⎝ 3 ⎠ = 1 − 0 = −1 ,
     x → +∞      ⎛ 2    ⎞ x →+∞ 2 − 1 x →+∞ ⎛ 1 ⎞ x          2 ⋅ 0 −1
            3 x ⎜ x − 1⎟           x              2⎜ ⎟ − 1
                 ⎝3     ⎠        3                 ⎝ 3⎠