Функция и ее предел. Фадеев Ю.А - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КузГТУ | Кемерово

Составители: 

Рубрика: 

17
множители и числитель и знаменатель дроби или умножить и числи-
тель, и знаменатель на одно и то же выражение, приводящее к форму-
лам сокращенного умножения (см. приложение 1П-5П). Неопределен-
ность устраняется после сокращения дроби.
Пример 8. Найти
4
8
lim
2
3
2
−
−
→
x
x
x
.
Решение. Применяя теорему (7) и (15), имеем
(
)
()
0
0
4lim
8lim
4
8
lim
2
2
3
2
2
3
2
=
−
−
=
−
−
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x
Для раскрытия неопределенности вида
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
0
0
разложим числи-
тель и знаменатель на множители: числитель по формуле (3П), знаме-
натель – (1П), получим
2
42
lim
)2)(2(
)42)(2(
lim
4
8
lim
2
2
2
2
2
3
2
+
++
=
+−
++−
=
−
−
=
→→→
x
xx
xx
xxx
x
x
A
xxx
.
В полученной дроби знаменатель не стремится к нулю при
2→x , поэтому можно применить теоремы о пределах (7, 4, 6) и не-
прерывности функции (15):
3
22
4222
)2(lim
)42(lim
2
2
2
2
=
+
+⋅+
=
+
++
=
→
→
x
xx
A
x
x
.
Пример 9. Найти
43
12
lim
2
2
4
−
−
−−
→
x
x
xx
x
.
Решение. Применяя теоремы о пределах, имеем
(
)
()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
−−
−−
=
−−
−−
=
→
→
→
0
0
43lim
12lim
43
12
lim
2
4
2
4
2
2
4
xx
xx
xx
xx
A
x
x
x
.
Для раскрытия неопределенности вида
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
0
0
разложим квадрат-
ные трехчлены числителя и знаменателя на множители по формуле
(6П), получим 
                                       17

множители и числитель и знаменатель дроби или умножить и числи-
тель, и знаменатель на одно и то же выражение, приводящее к форму-
лам сокращенного умножения (см. приложение 1П-5П). Неопределен-
ность устраняется после сокращения дроби.
                             x3 − 8
       Пример 8. Найти lim 2         .
                         x→2 x − 4

       Решение. Применяя теорему (7) и (15), имеем
                              x 3 − 8 lim      (    )
                                              x3 − 8 0
                          lim 2        =  x→2
                                                    =
                          x→2 x − 4            (    )
                                         lim x 2 − 4 0
                                         x→2

                                                        ⎡0⎤
        Для раскрытия неопределенности вида ⎢ ⎥ разложим числи-
                                                        ⎣0⎦
тель и знаменатель на множители: числитель по формуле (3П), знаме-
натель                      –                    (1П),          получим
         x −8
          3
                      ( x − 2)( x + 2 x + 4)
                                  2
                                                   x + 2x + 4
                                                    2
 A = lim 2     = lim                         = lim            .
     x→2 x − 4    x→2     ( x − 2)( x + 2)     x→2     x+2
        В полученной дроби знаменатель не стремится к нулю при
x → 2 , поэтому можно применить теоремы о пределах (7, 4, 6) и не-
прерывности функции (15):
            lim( x 2 + 2 x + 4) 2 2 + 2 ⋅ 2 + 4
        A = x→2                  =               =3.
               lim( x + 2)              2+2
              x→2



                            x 2 − x − 12
      Пример 9. Найти lim 2               .
                       x→4 x − 3x − 4

      Решение. Применяя теоремы о пределах, имеем
                        x 2 − x − 12 lim       (          )
                                            x 2 − x − 12 ⎡ 0 ⎤
                A = lim 2             = x→4
                                                         =        .
                    x→4 x − 3x − 4             (          )
                                        lim x 2 − 3 x − 4 ⎢⎣ 0 ⎥⎦
                                        x→4

                                           ⎡0⎤
       Для раскрытия неопределенности вида ⎢ ⎥ разложим квадрат-
                                           ⎣0⎦
ные трехчлены числителя и знаменателя на множители по формуле
(6П), получим

Страницы