Функция и ее предел. Фадеев Ю.А - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КузГТУ | Кемерово

Составители: 

Рубрика: 

19
Имеем неопределенность вида
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
0
0
. Для раскрытия неопреде-
ленности умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, со-
пряженное числителю
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+=+
+
=
+++
−+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
+++
++−+
=
→
→
)3(3
:множительобщий
выносим3
выражениив
)636)(3(
6)36(
lim
числителев
применяем)(1Пформулу
)636)(3(
)636)(636(
lim
2
2
2
22
0
2
0
xxxx
x
x)(x
xxx
x
xxx
xx
A
x
x
36
1
)6360)(30(
1
)636)(3(
1
lim
на
сокращаем
ьзнаменател
ичислитель
)636)(3(
lim
)636)(3(
636
lim
0
0
2
0
=
+++
=
+++
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
+++
=
+++
−+
=
→
→→
xx
x
xxx
x
xxx
x
A
x
xx
3 тип. Необходимо вычислить предел функции с неопределен-
ностью вида
[]
∞
−∞ . Если функция, стоящая под знаком предела,
представляет собой алгебраическую сумму дробей, то неопределен-
ность устраняется или приводится ко 2-му типу после приведения
дробей к общему знаменателю. Если функция представляет собой ал-
гебраическую сумму иррациональных выражений, то неопределен-
ность или устраняется или приводится к 1-му типу путем умножения
и деления функции
на одно и то же (сопряженное) выражение, приво-
дящее к формулам сокращенного выражения.
Пример 12. Найти
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
−
→
4
4
2
1
lim
2
2
xx
x
.
Решение. Имеем неопределенность вида
[
]
∞
−
∞
. Для раскры-
тия неопределенности приведем дроби к общему знаменателю: 
                                           19

                                          ⎡0⎤
      Имеем неопределенность вида ⎢ ⎥ . Для раскрытия неопреде-
                                          ⎣0⎦
ленности умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, со-
пряженное числителю
               ( x + 36 − 6)( x + 36 + 6) ⎡формулу (1П) применяем ⎤
       A = lim                             =⎢                     ⎥
           x→0   ( x 2 + 3x)( x + 36 + 6)   ⎣в числителе          ⎦
                                            ⎡в выражении                 ⎤
                                            ⎢                            ⎥
                     ( x + 36 ) 2 − 6 2     ⎢ (x 2 + 3x) выносим         ⎥=
       = lim 2                            =
         x → 0 ( x + 3 x )( x + 36 + 6)     ⎢общий множитель x :⎥
                                            ⎢ 2                          ⎥
                                            ⎢⎣ x + 3x = x( x + 3)        ⎥⎦
                         x + 36 − 6 2                           x
       A = lim                            = lim                             =
            x → 0 x ( x + 3)( x + 36 + 6)     x → 0 x ( x + 3)( x + 36 + 6)


      ⎡числитель и ⎤
      ⎢знаменатель⎥
      ⎢            ⎥ = lim        1                    1            1
                                             =                    =
      ⎢сокращаем ⎥ x →0 ( x + 3)( x + 36 + 6) (0 + 3)( 0 + 36 + 6) 36
      ⎢            ⎥
      ⎣на x        ⎦


       3 тип. Необходимо вычислить предел функции с неопределен-
ностью вида [∞ − ∞] . Если функция, стоящая под знаком предела,
представляет собой алгебраическую сумму дробей, то неопределен-
ность устраняется или приводится ко 2-му типу после приведения
дробей к общему знаменателю. Если функция представляет собой ал-
гебраическую сумму иррациональных выражений, то неопределен-
ность или устраняется или приводится к 1-му типу путем умножения
и деления функции на одно и то же (сопряженное) выражение, приво-
дящее к формулам сокращенного выражения.
                            ⎛ 1        4 ⎞
       Пример 12. Найти lim⎜       − 2   ⎟.
                         x→2 x − 2  x −4⎠
                            ⎝
       Решение. Имеем неопределенность вида [∞ − ∞] . Для раскры-
тия неопределенности приведем дроби к общему знаменателю:

Страницы