Функция и ее предел. Фадеев Ю.А - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КузГТУ | Кемерово

Составители: 

Рубрика: 

21
4 тип. К этому типу относят функции, сводящиеся к первому
замечательному пределу (8):
1
sin
lim
0
=
→
x
x
x
.
Пример 14. Найти
x
x
x
2sin
3sin
lim
0→
.
Решение. Имеем неопределенность вида
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
0
0
, для раскрытия
которой числитель и знаменатель дроби разделим на
x
и воспользу-
емся первым замечательным пределом (8
*
), получим:
2
3
2sin
3sin
lim
2sin
3sin
lim
00
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
==
→→
x
x
x
x
x
x
A
xx
.
Пример 15. Найти
x
xtg
x 0
lim
→
.
Решение. Имеем неопределенность вида
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
0
0
, для раскрытия
которой воспользуемся первым замечательным пределом (8), полу-
чим:
1
0cos
1
1
cos
1
lim
sin
lim
cos
sin
limlim
0000
=⋅=⋅=
⋅
=
→→→→
x
x
x
x
x
x
x
xtg
xxxx
.
5 тип. К этому типу относят пределы функции с неопределен-
ностью вида
[
]
∞
1, для раскрытия которой выражение, стоящее под
знаком предела, представляет собой степенно-показательную функ-
цию, в основании которой необходимо выделить целую часть дроби
(которая должна быть равна 1). Неопределенность устраняется при
помощи выделения второго замечательного предела (9) и (10).
Пример 16. Найти
x
x
х
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
∞→
3
1lim
.
Решение. Имеем неопределенность вида
∞
1, т.к. 
                                             21

      4 тип. К этому типу относят функции, сводящиеся к первому
                                    sin x
замечательному пределу (8): lim            = 1.
                               x →0   x
                                sin 3x
      Пример 14. Найти lim               .
                         x → 0 sin 2 x

                                                              ⎡0⎤
      Решение. Имеем неопределенность вида ⎢ ⎥ , для раскрытия
                                                              ⎣0⎦
которой числитель и знаменатель дроби разделим на x и воспользу-
емся первым замечательным пределом (8*), получим:
                                                  ⎛ sin 3x ⎞
                                                  ⎜         ⎟
                                 sin 3 x               x ⎠ 3
                     A = lim              = lim ⎝             = .
                          x → 0 sin 2 x     x → 0 ⎛ sin 2 x ⎞   2
                                                  ⎜         ⎟
                                                  ⎝ x ⎠

                                    tg x
      Пример 15. Найти lim               .
                                x →0 x

                                            ⎡0⎤
      Решение. Имеем неопределенность вида ⎢ ⎥ , для раскрытия
                                            ⎣0⎦
которой воспользуемся первым замечательным пределом (8), полу-
чим:

                  tg x          sin x            sin x           1          1
           lim         = lim             = lim         ⋅ lim         = 1⋅       =1.
           x →0     x    x → 0 x ⋅ cos x   x → 0   x     x → 0 cos x      cos 0

      5 тип. К этому типу относят пределы функции с неопределен-
             [ ]
ностью вида 1∞ , для раскрытия которой выражение, стоящее под
знаком предела, представляет собой степенно-показательную функ-
цию, в основании которой необходимо выделить целую часть дроби
(которая должна быть равна 1). Неопределенность устраняется при
помощи выделения второго замечательного предела (9) и (10).
                                             x
                            ⎛ 3⎞
      Пример 16. Найти lim⎜1 + ⎟ .
                       x →∞
                            ⎝ х⎠
      Решение. Имеем неопределенность вида 1∞ , т.к.

Страницы