Функция и ее предел. Фадеев Ю.А - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КузГТУ | Кемерово

Составители: 

Рубрика: 

20
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
−
−
=
−
−+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
→→→
0
0
4
2
lim
4
42
lim
4
4
2
1
lim
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
xx
A
xxx
.
Имеем предел 2-го типа, необходимо разложить на множители
знаменатель дроби, используя формулу (1П), получим:
4
1
2
1
lim
)2)(2(
2
lim
22
=
+
=
+−
−
=
→→
xxx
x
A
xx
.
Пример 13. Найти
(
)
xxx
x
4lim
2
+−
+∞→
.
Решение. Применим теоремы о пределах (4), получим
(
)
[
]
∞−∞=+−=+−
+∞→+∞→+∞→
xxxxxx
xxx
4limlim4lim
22
Имеем неопределенность вида
[
]
∞
−∞ . Для раскрытия неопре-
деленности умножим и разделим функцию, стоящую под знаком пре-
дела на сопряженное выражение:
)4(
2
xxx ++ , приводящее к разно-
сти квадратов, получим:
(
)
(
)
(
)
=
++
+−
=
++
+++−
=
+∞→+∞→
xxx
xxx
xxx
xxxxxx
A
xx
4
4
lim
4
44
lim
2
2
22
2
22
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∞
∞
=
++
−
=
++
+−
=
+∞→+∞→
xxx
x
xxx
xxx
xx
4
4
lim
4
)4(
lim
22
22
.
Имеем предел 1-го типа, решаем аналогично примеру 7: снача-
ла вынесем
2
x под знаком радикала, получим:
x
xx
x
x
xx
x
A
xx
4
1
4
lim
4
1
4
lim
2
++
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
−
=
+∞→+∞→
.
В знаменателе дроби выносим за скобки
x
, получим:
2
4
11
4
lim
4
11
4
lim −=
++
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
−
=
+∞→+∞→
x
x
x
x
A
xx
,
т.к.
x
4
- бесконечно малая величина при
+
∞→
x
. 
                                                     20

                  ⎛ 1           4 ⎞           x+2−4            x − 2 ⎡0⎤
           A = lim⎜      − 2         ⎟ = lim 2         = lim 2      =⎢ ⎥.
               x→2 x − 2    x − 4 ⎠ x→2 x − 4             x→2 x − 4
                  ⎝                                                  ⎣0⎦
      Имеем предел 2-го типа, необходимо разложить на множители
знаменатель дроби, используя формулу (1П), получим:
                                     x−2                1     1
                     A = lim                    = lim       = .
                         x → 2 ( x − 2)( x + 2)   x→2 x + 2   4
       Пример 13. Найти lim x − x 2 + 4 x .
                                     x → +∞
                                              (              )
       Решение. Применим теоремы о пределах (4), получим
                            (                 )
                       lim x − x 2 + 4 x = lim x − lim
                   x → +∞                         x → +∞   x → +∞
                                                                    x 2 + 4 x = [∞ − ∞ ]
      Имеем неопределенность вида [∞ − ∞] . Для раскрытия неопре-
деленности умножим и разделим функцию, стоящую под знаком пре-
дела на сопряженное выражение: ( x + x 2 + 4 x ) , приводящее к разно-
сти квадратов, получим:

        A = lim
                (x −                   )(
                                x2 + 4x x + x2 + 4x        ) = lim x − ( x
                                                                       2       2
                                                                                   + 4x   )=
                                                                                          2


              x → +∞
                             x + x2 + 4x                  x → +∞
                                                                   x + x2 + 4x
                x 2 − ( x 2 + 4 x)               − 4x           ⎡∞ ⎤
       = lim                       = lim                     = ⎢ ⎥.
         x → +∞
                 x + x + 4x
                          2          x → +∞
                                            x + x + 4x ⎣ ∞ ⎦
                                                    2

      Имеем предел 1-го типа, решаем аналогично примеру 7: снача-
ла вынесем x 2 под знаком радикала, получим:
                           − 4x                      − 4x
       A = lim                          = lim                    .
            x → +∞
                            2⎛     4⎞     x → +∞             4
                   x + x ⎜1 + ⎟                  x + x 1+
                             ⎝ x⎠                            x
      В знаменателе дроби выносим за скобки x , получим:
                         − 4x                      −4
       A = lim                       = lim                  = −2 ,
            x → +∞ ⎛
                                 4 ⎞ x →+∞              4
                   x⎜⎜1 + 1 + ⎟⎟               1+ 1+
                     ⎝           x⎠                     x
              4
       т.к.     - бесконечно малая величина при x → +∞ .
              x

Страницы