Функция и ее предел. Фадеев Ю.А - 22 стр.

                                               22

                         ⎛ 3⎞             3
                    lim⎜1 + ⎟ = lim1 + lim = 1 + 0 = 1 .
                    x →∞
                         ⎝ х ⎠ x →∞ x →∞ х
      Для раскрытия неопределенности воспользуемся вторым заме-
чательным пределом (9).
                                                                        3
                                          3⋅
                                               x
                                                           ⎡      x
                                                                    ⎤
                                 ⎛  ⎞          3
                                                           ⎢⎜⎛  ⎞ 3
                                                                    ⎥
                                 ⎜ 1⎟                          1⎟ ⎥
                       A == lim⎜1 + ⎟                      ⎢
                                                   = lim ⎜1 + ⎟       = e3 .
                            x → ∞⎜ x⎟                x → ∞ ⎢⎜  x⎟ ⎥
                                 ⎜  ⎟                      ⎢⎜   ⎟ ⎥
                                 ⎝ 3⎠                      ⎢⎣⎝ 3⎠ ⎥
                                                                    ⎦
                                                   3
       Пример 17. Найти lim(1 − 2 x ) x .
                              x →0

      Решение. Имеем неопределенность вида 1∞ . Воспользуемся
вторым замечательным пределом (10), для этого введем α ( x) = −2 x ,
которая является бесконечно малой величиной при x → 0 . Умножим
                       ⎛            1 ⎞
показатель степени на ⎜⎜ α ( x) ⋅         ⎟ , это действие не нарушает знака
                       ⎝          α ( x) ⎟⎠
равенства:
                                                                                                 3
                                                                                         −2 x⋅

                                                          = lim ⎡⎢(1 + (−2 x) ) 2 x ⎤⎥
                   3                           ⎛ 1 ⎞3                            1
       lim(1 − 2 x ) = lim(1 + (−2 x) )
                                      ( −2 x )⋅⎜ − ⎟⋅                          −                 x
                   x                           ⎝ 2x ⎠ x                                              = e −6
        x→0             x→0                                 x→0 ⎣                    ⎦
                                           .
                                                   x
                               ⎛ x+4⎞
       Пример 18. Найти lim⎜          ⎟ .
                           x →∞ x − 2
                               ⎝      ⎠
       Решение. Имеем неопределенность вида 1∞ . Выделим целую     [ ]
               x+4 x−2+6             6
часть дроби        =          =1+         .
               x−2     x−2         x−2
                 6
       α ( x) =      является бесконечно малой величиной при x → ∞ .
                x−2
                                   ⎛          1 ⎞
Умножим показатель степени на ⎜⎜ α ( x) ⋅           ⎟ , получим:
                                   ⎝        α ( x) ⎟⎠