Функция и ее предел. Фадеев Ю.А - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КузГТУ | Кемерово

Составители: 

Рубрика: 

24
Решение. Имеем неопределенность вида
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
0
0
, преобразуем ее в
неопределенность вида
[
]
∞
1, пользуясь свойствами логарифмов (8П и
9П), получим:
x
x
x
xxx
x
xx
xx
x
A
4
1
0
4
1
000
3
1lnlim
3
3
lnlim
3
3
ln
4
1
lim
4
3ln)3ln(
lim
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
−+
=
→
→→→
.
Учитывая непрерывность логарифмической функции (15*),
символы
li
m
и
ln
можно переставить, получим
12
1
lnln
3
1limln
3
1limln
12
1
4
1
3
lim
4
1
3
3
0
4
1
0
0
===
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅⋅
→→
→
ee
xx
A
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.
Пример 21. Найти
(
)
xx
x
coslim
⋅
∞→
.
Решение.
(
)
xx
x
coslim
⋅
∞→
- не существует, т.к.
1cos1
<
<
−
x
.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОДНОСТОРОННИХ
ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ
Пример 22. Найти односторонние пределы функции
2
2
4
x
x
y
−
=
в точке
2=x .
Решение. В точке
2
=
x
заданная функция не определена, т.к.
числитель при
2=x обращается в нуль. Вычислим односторонние
пределы:
2
2
02
4
lim
x
x
x
−
−→
. Т.к. рассматривается предел при 02
−
→x , то
04
2
>− x и знаменатель 04
2
+→− x , т.е. является положительной (по
знаку) бесконечно малой величиной
+∞=
>
=
−
−→
0..
2
4
lim
2
2
2
02
м
б
x
x
x
                                         24

                                            ⎡0⎤
       Решение. Имеем неопределенность вида ⎢ ⎥ , преобразуем ее в
                                            ⎣0⎦
                       ∞
                           [ ]
неопределенность вида 1 , пользуясь свойствами логарифмов (8П и
9П), получим:
                                                                          1
                    ln( x + 3) − ln 3       ⎛ 1  x + 3⎞         ⎛ x + 3 ⎞ 4x
           A = lim                    = lim⎜ ln       ⎟ = lim ln⎜       ⎟ =
               x →0        4x           x →0 4 x
                                            ⎝      3 ⎠ x →0 ⎝ 3 ⎠
                           1
                                                                                .
                 ⎛ x⎞      4x
         = lim ln⎜1 + ⎟
           x →0
                 ⎝ 3⎠
      Учитывая непрерывность логарифмической функции (15*),
символы lim и ln можно переставить, получим
                           1                  3 x 1
                                               ⋅ ⋅           ⎛x 1 ⎞      1
                    ⎛ x ⎞ 4x       ⎛ x ⎞ x 3 4x        lim ⎜ ⋅ ⎟                 1
        A = ln lim⎜1 + ⎟ = ln lim⎜1 + ⎟         = ln e x→0 ⎝ 3 4 x ⎠ = ln e 12 = .
               x →0
                    ⎝ 3⎠      x →0
                                   ⎝ 3⎠                                         12
       Пример 21. Найти lim( x ⋅ cos x ) .
                                x →∞

       Решение. lim( x ⋅ cos x ) - не существует, т.к. − 1 < cos x < 1 .
                   x →∞


                ВЫЧИСЛЕНИЕ ОДНОСТОРОННИХ
                    ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ
                                                                                x2
       Пример 22. Найти односторонние пределы функции y =
                                                                              4 − x2
в точке x = 2 .
        Решение. В точке x = 2 заданная функция не определена, т.к.
числитель при x = 2 обращается в нуль. Вычислим односторонние
пределы:
                 x2
          lim          . Т.к. рассматривается предел при x → 2 − 0 , то
         x→2−0 4 − x 2

4 − x 2 > 0 и знаменатель 4 − x 2 → +0 , т.е. является положительной (по
знаку) бесконечно малой величиной
                                   x2        22
                            lim          =          = +∞
                           x→2−0 4 − x 2   б.м. > 0

Страницы