Функция и ее предел. Фадеев Ю.А - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КузГТУ | Кемерово

Составители: 

Рубрика: 

26
При 1→x имеем неопределенность вида
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
0
0
, для раскрытия
которой используем правило Лопиталя (24):
(
)
()
2
3
2
3
lim
2
3
lim
1
1
lim
1
1
lim
1
2
1
2
3
1
2
3
1
===
′
−
′
−
=
−
−
→→→→
x
x
x
x
x
x
x
xxxx
.
Пример 26. Найти
243
132
lim
2
2
−
+
+−
∞→
x
x
xx
x
.
Решение. Применяем теоремы о пределах, получим
∞
∞
=
−
+
+−
=
∞→
243
132
lim
2
2
x
x
xx
A
x
.
При
∞→
x
имеем неопределенность вида
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∞
∞
, для раскры-
тия которой используем замечание 2 и правило Лопиталя:
(
)
()
46
34
lim
243
132
lim
243
132
lim
2
2
2
2
+
−
=
′
−+
′
+−
=
−+
+−
=
∞→∞→∞→
x
x
xx
xx
xx
xx
A
xxx
.
При
∞→
x
имеем неопределенность вида
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∞
∞
, применяем
правило Лопиталя повторно
()
()
3
2
6
4
lim
46
34
lim
46
34
lim ==
′
+
′
−
=
+
−
=
∞→∞→∞→ xxx
x
x
x
x
A
.
Пример 27. Найти
2
1
lim
x
x
x
∞→
.
Решение. Имеем неопределенность вида
[
]
0
∞ , применяем по-
следовательно (11П), (9П) и (15*):
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
eeexA
ln
1
limln
1
ln
1
22
2
1
2
limlimlim
→∞
====
∞→∞→∞→
Найдем 
                                               26

                                                                   ⎡0⎤
       При x → 1 имеем неопределенность вида ⎢ ⎥ , для раскрытия
                                                                   ⎣0⎦
которой используем правило Лопиталя (24):
                                                  ′
                   lim 2
                         x3 − 1
                                = lim
                                        (x 3 − 1)
                                                     = lim
                                                           3x 2       3
                                                                = lim x = .
                                                                             3
                    x →1 x − 1     x →1
                                        (x 2 − 1)′ x→1 2 x x→1 2 2
                                        2 x 2 − 3x + 1
       Пример 26. Найти lim 2                            .
                                 x →∞ 3 x + 4 x − 2

       Решение. Применяем теоремы о пределах, получим
                2 x 2 − 3x + 1 ∞
       A = lim 2                 = .
           x →∞ 3 x + 4 x − 2       ∞
                                                                     ⎡∞⎤
       При x → ∞ имеем неопределенность вида ⎢ ⎥ , для раскры-
                                                                     ⎣∞⎦
тия которой используем замечание 2 и правило Лопиталя:

       A = lim 2
                2 x 2 − 3x + 1
                                 = lim
                                          (2 x 2 − 3x + 1)′ = lim 4 x − 3 .
           x →∞ 3 x + 4 x − 2       x →∞
                                         (3x 2 + 4 x − 2)′ x→∞ 6 x + 4
                                                                      ⎡∞⎤
       При x → ∞ имеем неопределенность вида ⎢ ⎥ , применяем
                                                                      ⎣∞⎦
правило Лопиталя повторно

                        A = lim
                                 4x − 3
                                           = lim
                                                    (4 x − 3)′ = lim 4 = 2 .
                            x →∞ 6 x + 4      x →∞
                                                    (6 x + 4)′ x→∞ 6 3
                                        1
                                         2
       Пример 27. Найти lim x x .
                                x →∞

      Решение. Имеем неопределенность вида ∞ 0 , применяем по-                 [ ]
следовательно (11П), (9П) и (15*):
                                1                   1            1                       1
                                                    2                   ln x       lim         ln x
                    A = lim x   x2
                                     = lim e   ln x x
                                                        = lim e x              = e x→∞ x
                                                                    2                      2

                        x →∞           x →∞               x →∞

       Найдем

Страницы