Функция и ее предел. Фадеев Ю.А - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КузГТУ | Кемерово

Составители: 

Рубрика: 

25
2
2
02
4
lim
x
x
x
−
+→
Т.к. рассматривается предел при
02
+
→x , то
04
2
<− x
и зна-
менатель
04
2
−→− x , т.е. является отрицательной (по знаку) беско-
нечно малой величиной
−∞=
<
=
−
+→
0..
2
4
lim
2
2
2
02
м
б
x
x
x
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Пример 23. Найти
x
xtg
x
2
4
lim
0→
.
Решение. При 0→x используем (18)
x
tgx ~ , имеем
2
2
4
2
4
lim
2
4
lim
00
===
→→
x
x
x
xtg
xx
.
Пример 24. Найти
15
13
lim
0
−
−
→
x
x
x
.
Решение. При 0→x используем (23) и (10П), имеем
3log
5ln
3ln
5ln
3ln
lim
15
13
lim
5
00
===
−
−
→→
x
x
x
x
x
x
.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ
(ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ).
Пример 25. Найти
1
1
lim
2
3
1
−
−
→
x
x
x
.
Решение. Применяем теоремы о пределах, получим
(
)
()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
−
−
=
−
−
→
→
→
0
0
1lim
1lim
1
1
lim
2
1
3
1
2
3
1
x
x
x
x
x
x
x
                                    25

                                          x2
                              lim
                                 x→2+ 0 4 − x 2

      Т.к. рассматривается предел при x → 2 + 0 , то 4 − x 2 < 0 и зна-
менатель 4 − x 2 → −0 , т.е. является отрицательной (по знаку) беско-
нечно малой величиной
                                x2         22
                        lim           =           = −∞
                       x→2+ 0 4 − x 2    б.м. < 0

      ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
         ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

                                        tg 4 x
      Пример 23. Найти lim                     .
                                   x →0 2 x

      Решение. При x → 0 используем (18) tgx ~ x , имеем
           tg 4 x          4x 4
      lim         = lim        = = 2.
      x →0 2 x      x →0 2 x      2
                                        3x − 1
      Пример 24. Найти lim x                    .
                                   x →0 5 − 1

      Решение. При x → 0 используем (23) и (10П), имеем
           3x − 1           x ln 3 ln 3
      lim x        = lim            =       = log 5 3 .
      x →0 5 − 1      x → 0 x ln 5    ln 5

             ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ
                 (ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ).

                             x3 −1
      Пример 25. Найти lim           .
                        x →1 x 2 − 1

      Решение. Применяем теоремы о пределах, получим
                           x 3 − 1 lim       (x 3 − 1) ⎡ 0 ⎤
                     lim 2         =    x →1
                                                      =
                      x →1 x − 1       lim(x 2 − 1) ⎢⎣ 0 ⎥⎦
                                        x →1

Страницы