Функция и ее предел. Фадеев Ю.А - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КузГТУ | Кемерово

Составители: 

Рубрика: 

18
5
7
14
34
1
3
lim
)1)(4(
)3)(4(
lim
44
=
+
+
=
+
+
=
+−
+
−
=
→→
x
x
xx
xx
A
xx
.
Пример 10. Найти
x
x
x
2
0
sin
cos1
lim
−
→
.
Решение. Пределы числителя и знаменателя при 0→x равны
нулю, т.е. имеем неопределенность вида
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
0
0
. Если выражение, пре-
дел которого необходимо найти, содержит сумму или разность триго-
нометрических функций, то для раскрытия неопределенности нужно
тождественно преобразовать их в произведение по формулам триго-
нометрии.
xxx
x
x
x
xx
x
x
xx
xx
cos1
1
lim
)cos1)(cos1(
cos1
lim
1Пформулу
используем
cos1
cos1
lim
1cossin
формулу
используем
sin
cos1
lim
00
2
0
22
2
0
+
=
+−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=+
=
−
→→
→→
В полученной дроби знаменатель не стремится к нулю при
0→x
, поэтому можно применить теорему о пределе частного (7) и
непрерывности функции (15):
2
1
0cos1
1
)cos1(lim
1lim
cos1
1
lim
0
0
0
=
+
=
+
=
+
→
→
→
xx
x
x
x
.
Пример 11. Найти
x
x
x
x
3
636
lim
2
0
+
−+
→
.
Решение. Применим теоремы о пределах, получим
(
)
()
0
0
3lim
636lim
3
636
lim
2
0
0
2
0
=
+
−+
=
+
−+
=
→
→
→
xx
x
xx
x
A
x
x
x
. 
                                             18

                               ( x − 4)( x + 3)         x+3 4+3 7
                    A = lim                     = lim       =    = .
                         x→4   ( x − 4)( x + 1)   x → 4 x +1 4 +1 5

                                    1 − cos x
       Пример 10. Найти lim                     .
                                x →0  sin 2 x
       Решение. Пределы числителя и знаменателя при x → 0 равны
                                                      ⎡0⎤
нулю, т.е. имеем неопределенность вида ⎢ ⎥ . Если выражение, пре-
                                                      ⎣0⎦
дел которого необходимо найти, содержит сумму или разность триго-
нометрических функций, то для раскрытия неопределенности нужно
тождественно преобразовать их в произведение по формулам триго-
нометрии.
                         ⎡используем            ⎤
            1 − cos x ⎢                         ⎥       1 − cos x ⎡используем ⎤
        lim      2
                       = ⎢формулу               ⎥ x→0 1 − cos 2 x = ⎢формулу 1П ⎥
                                                  = lim
        x→0 sin x
                         ⎢sin 2 x + cos 2 x = 1⎥                    ⎣           ⎦
                         ⎣                      ⎦
                     1 − cos x                    1
        = lim                          = lim
          x→0 (1 − cos x )(1 + cos x )    x→0 1 + cos x

       В полученной дроби знаменатель не стремится к нулю при
x → 0 , поэтому можно применить теорему о пределе частного (7) и
непрерывности функции (15):
                              1              lim1             1       1
                     lim             =        x→0
                                                        =          = .
                      x→0 1 + cos x    lim(1 + cos x) 1 + cos 0 2
                                       x→0

                                  x + 36 − 6
       Пример 11. Найти lim                   .
                          x →0    x 2 + 3x
       Решение. Применим теоремы о пределах, получим
                            x + 36 − 6 lim         (
                                                 x + 36 − 6 0    )
                 A = lim                 = x →0
                                                           = .
                     x →0    x 2 + 3x                    (
                                              lim x 2 + 3x
                                                  x →0
                                                            0)

Страницы