Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

N
0
(p, n) l ≥ p
n−1
,
p
l =
k
X
j=0
µ
j
p
j
, µ
j
∈ {0, 1, . . . , p − 1}, µ
k
6= 0, k = k(l) ∈ Z
+
, (12)
(µ
j
, µ
j+1
, . . . , µ
j+n−1
)
(0, 0, . . . , 0, 1), (0, 0, . . . , 0, 2), . . . , (0, 0, . . . , 0, p −1).
N(p, n) = {1, 2, . . . , p
n−1
− 1} ∪ N
0
(p, n).
N(2, 2) = {2
j+1
− 1 | j ∈ Z
+
} = {1, 3, 7, 15, 31, . . . },
N(2, 3) = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 26, 27, 29, 30, 31, 42, . . . },
N(p, 2) = {
k
X
j=0
µ
j
p
j
| µ
j
∈ {1, 2, . . . , p − 1}, k ∈ Z
+
} (p ≥ 3).
l ∈ N(p, n), 1 ≤ l ≤ p
n
− 1,
b
l
γ(i
1
, i
2
, . . . , i
n
) = b
l
, l = i
1
p
0
+i
2
p
1
+···+i
n
p
n−1
, i
j
∈ {0, 1, . . . , p−1}.
l ∈ N(p, n) p
c
l
[m]
c
l
[m] = γ(µ
0
, 0, 0, . . . , 0, 0), k(l) = 0;
c
l
[m] = γ(µ
1
, 0, 0, . . . , 0, 0)γ(µ
0
, µ
1
, 0, . . . , 0, 0), k(l) = 1;
. . .
c
l
[m] = γ(µ
k
, 0, 0, . . . , 0)γ(µ
k−1
, µ
k
, 0, . . . , 0) . . . γ(µ
0
, µ
1
, . . . , µ
n−2
, µ
n−1
),
k = k(l) ≥ n −1.
p l
γ(µ
k−l
, µ
k−l+1
, . . . , µ
k
,
0, 0, . . . , 0) γ(µ
k−l−1
, µ
k−l
, . . . , µ
k
, 0, . . . , 0)).
   Ïóñòü N0 (p, n)  ìíîæåñòâî âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë l ≥ pn−1 , ó êîòîðûõ
â p-àðíîì ðàçëîæåíèè

              k
              X
        l=          µj p j ,      µj ∈ {0, 1, . . . , p − 1},      µk 6= 0,       k = k(l) ∈ Z+ ,          (12)
              j=0

ñðåäè óïîðÿäî÷åííûõ íàáîðîâ (µj , µj+1 , . . . , µj+n−1 ) îòñóòñòâóþò íàáîðû

                     (0, 0, . . . , 0, 1), (0, 0, . . . , 0, 2), . . . , (0, 0, . . . , 0, p − 1).
Ïîëîæèì N(p, n) = {1, 2, . . . , pn−1 − 1} ∪ N0 (p, n). Èìååì, â ÷àñòíîñòè,

                     N(2, 2) = {2j+1 − 1 | j ∈ Z+ } = {1, 3, 7, 15, 31, . . . },
  N(2, 3) = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 26, 27, 29, 30, 31, 42, . . . },
                                  k
                                  X
              N(p, 2) = {               µj pj | µj ∈ {1, 2, . . . , p − 1}, k ∈ Z+ } (p ≥ 3).
                                  j=0

Äëÿ êàæäîãî l ∈ N(p, n), 1 ≤ l ≤ pn − 1, âûáåðåì (äåéñòâèòåëüíîå èëè êîì-
ïëåêñíîå) ÷èñëî bl òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü óñëîâèÿ (10). Ïîëîæèì


γ(i1 , i2 , . . . , in ) = bl ,     åñëè l = i1 p0 +i2 p1 +· · ·+in pn−1 ,              ij ∈ {0, 1, . . . , p−1}.
Ïîñëå ýòîãî ïðåäñòàâèì êàæäîå l ∈ N(p, n) â âèäå p-àðíîãî ðàçëîæåíèÿ (12)
è îïðåäåëèì êîýôôèöèåíòû cl [m] ñ ïîìîùüþ ðàâåíñòâ:

                          cl [m] = γ(µ0 , 0, 0, . . . , 0, 0),        åñëè k(l) = 0;

           cl [m] = γ(µ1 , 0, 0, . . . , 0, 0)γ(µ0 , µ1 , 0, . . . , 0, 0),         åñëè k(l) = 1;
                                                         ...


     cl [m] = γ(µk , 0, 0, . . . , 0)γ(µk−1 , µk , 0, . . . , 0) . . . γ(µ0 , µ1 , . . . , µn−2 , µn−1 ),
åñëè k = k(l) ≥ n − 1. Îòìåòèì, ÷òî â ïîñëåäíåì ïðîèçâåäåíèè èíäåêñû êàæ-
äîãî ìíîæèòåëÿ, íà÷èíàÿ ñî âòîðîãî, ïîëó÷àþòñÿ ñäâèãîì èíäåêñîâ ïðåäû-
äóùåãî ìíîæèòåëÿ íà îäíó ïîçèöèþ âïðàâî è äîáàâëåíèåì íà îñâîáîäèâøå-
åñÿ ïåðâîå ìåñòî îäíîé íîâîé öèôðû èç p-àðíîãî ðàçëîæåíèÿ (12) ÷èñëà l
(íàïðèìåð, çà ìíîæèòåëåì γ(µk−l , µk−l+1 , . . . , µk ,
0, 0, . . . , 0) ñëåäóåò γ(µk−l−1 , µk−l , . . . , µk , 0, . . . , 0)).



                                                          99

Страницы