Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

M m
p n − 1,
[0, p
−n+1
) T
p
M ⊂ M ∪ Null m, Null m
m
[1 −p
1−n
, 1) m
l/p − 1/p
n
1 ≤ l ≤ p − 1
ϕ ∈ L
2
(R
+
)
{ϕ(· k)|k ∈ Z
+
}
m
{ϕ(· k)|k ∈ Z
+
} L
2
(R
+
)
m
E ⊂ R
+
p
E p
E Z
+
,
E x ∈ [0, 1) k ∈ Z
+
x ⊕ k ∈ E.
m
E
E Z
+
[0, δ) δ > 0
inf
j∈N
inf
ω∈E
|m(p
−j
ω)| > 0. (11)
m(ω) ≡ 1 [0, p
−n
)
j
0
E/2
j
0
⊂ [0, p
−n
)
m E/2, . . . , E/2
j
0
−1
.
m L
2
ϕ
ϕ p L
2
(R
+
)
m
m
p, n ∈ N, p ≥ 2, a
α
ϕ ∈ L
2
(R
+
)
supp ϕ ⊂ [0, p
n−1
]
ϕ
ϕ p L
2
(R
+
)
Ìíîæåñòâî M íàçûâàåòñÿ áëîêèðîâàííûì (äëÿ ìàñêè m), åñëè îíî ïðåäñòà-
âèìî â âèäå îáúåäèíåíèÿ p -àäè÷åñêèõ èíòåðâàëîâ ðàíãà n − 1, íå ñîäåðæèò
èíòåðâàëà [0, p −n+1 ) è îáëàäàåò ñâîéñòâîì Tp M ⊂ M ∪ Null m, ãäå Null m
 ìíîæåñòâî âñåõ íóëåé ìàñêè m íà èíòåðâàëå [0,1). Íàïðèìåð, èíòåðâàë
[1 − p1−n , 1) ÿâëÿåòñÿ áëîêèðîâàííûì ìíîæåñòâîì, åñëè ìàñêà m îáðàùàåòñÿ
â íóëü â òî÷êàõ l/p − 1/pn , 1 ≤ l ≤ p − 1.
  4.6. Ïóñòü ôèíèòíàÿ ôóíêöèÿ ϕ ∈ L2 (R+ ) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (4)
è óñëîâèþ (5). Òîãäà ñïðàâåäëèâû óòâåðæäåíèÿ:
   (a) ñèñòåìà {ϕ(· k)| k ∈ Z+ } ëèíåéíî çàâèñèìà â òîì è òîëüêî â òîì
ñëó÷àå, êîãäà ìàñêà m èìååò áëîêèðîâàííîå ìíîæåñòâî;
   (b) ñèñòåìà {ϕ(· k)| k ∈ Z+ } îðòîíîðìèðîâàíà â L2 (R+ ) â òîì è òîëüêî
â òîì ñëó÷àå, êîãäà ìàñêà m íå èìååò áëîêèðîâàííûõ ìíîæåñòâ è óäîâëåòâî-
ðÿåò óñëîâèÿì (9).
   Ïóñòü ìíîæåñòâî E ⊂ R+ òàêîâî, ÷òî èç ëþáîãî ïîêðûòèÿ ýòîãî ìíîæå-
ñòâà p-àäè÷åñêèìè èíòåðâàëàìè ìîæíî âûäåëèòü êîíå÷íîå ïîäïîêðûòèå (â
÷àñòíîñòè, E ìîæåò áûòü îáúåäèíåíèåì êîíå÷íîãî ÷èñëà p -àäè÷åñêèõ èíòåð-
âàëîâ). Ìíîæåñòâî E íàçîâåì êîíãðóýíòíûì [0,1) ïî ìîäóëþ Z+ , åñëè ìåðà
Ëåáåãà ìíîæåñòâà E ðàâíà 1 è äëÿ êàæäîãî x ∈ [0, 1) ñóùåñòâóåò k ∈ Z+
òàêîå, ÷òî x ⊕ k ∈ E.
    Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ìàñêà m óðàâíåíèÿ (4) óäîâëåòâîðÿåò ìîäèôèöèðî-
âàííîìó óñëîâèþ Êîýíà, åñëè ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî E òàêîå, ÷òî:
    1) E êîíãðóýíòíî [0,1) ïî ìîäóëþ Z+ è ñîäåðæèò íåêîòîðûé èíòåðâàë âèäà
[0, δ), δ > 0;
    2) âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî

                            inf inf |m(p −j ω)| > 0.                       (11)
                            j∈N ω∈E


   Îòìåòèì, ÷òî ïîñêîëüêó m(ω) ≡ 1 íà [0, p −n ), äëÿ ïðîâåðêè íåðàâåíñòâà
(11) äîñòàòî÷íî íàéòè íîìåð j0 òàêîé, ÷òî E/2j0 ⊂ [0, p −n ), à çàòåì óáåäèòüñÿ,
÷òî ïîëèíîì m íå îáðàùàåòñÿ â íóëü íà ìíîæåñòâàõ E/2, . . . , E/2j0 −1 .
  4.7. Ïóñòü ìàñêà m ôèíèòíîãî L2 -ðåøåíèÿ ϕ óðàâíåíèÿ (4) óäîâëåòâîðÿåò
óñëîâèÿì (5) è (9). Òîãäà ñëåäóþùèå òðè óòâåðæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíû:
   (a) ôóíêöèÿ ϕ ãåíåðèðóåò p -ÊÌÀ â L2 (R+ );
   (b) ìàñêà m íå èìååò áëîêèðîâàííûõ ìíîæåñòâ;
   (c) ìàñêà m óäîâëåòâîðÿåò ìîäèôèöèðîâàííîìó óñëîâèþ Êîýíà.
   Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ p, n ∈ N, p ≥ 2, îïðåäåëèì êîýôôèöèåíòû aα òàêèå, ÷òî
ìàñøòàáèðóþùåå óðàâíåíèå (4) èìååò ðåøåíèå ϕ ∈ L2 (R+ ) ñî ñëåäóþùèìè
ñâîéñòâàìè:
   1) supp ϕ ⊂ [0, pn−1 ],
   2) ϕ ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ëàêóíàðíîãî ðÿäà ïî îáîáùåííûì ôóíêöèÿì Óîëøà,
   3) ϕ ãåíåðèðóåò p -ÊÌÀ â L2 (R+ ).

                                       98

Страницы