Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ϕ
∈ L
2
(R
+
)
ϕ
j,k
(x) = p
j/2
ϕ
(p
j
x k), j ∈ Z, k ∈ Z
+
,
V
j
= span{
ϕ
j,k
| k ∈ Z
+
}, j ∈ Z. (3)
ϕ p L
2
(R
+
),
{ϕ(·k) | k ∈ Z
+
} L
2
(R
+
)
p L
2
(R
+
). ϕ
p L
2
(R
+
)
L
2
(R
+
) j ∈ Z {
ϕ
j,k
| k ∈ Z
+
}
V
j
ϕ
ψ
1
, . . . , ψ
p−1
ψ
l,j,k
(x) = p
j/2
ψ
l
(p
j
x k), 1 ≤ l ≤ p −1, j ∈ Z, k ∈ Z
+
,
L
2
(R
+
) p = 2
ϕ
ψ
p, n ∈ N, p ≥ 2,
ϕ(x) = p
p
n
−1
X
α=0
a
α
ϕ(p x α). (4)
ϕ ϕ
R
+
.
ϕ ∈ L
2
(R
+
)
Z
R
+
ϕ
(t) dt = 1. (5)
E ⊂ R
+
1
E
a
0
= ··· = a
p−1
= 1/p a
α
= 0 α ≥ p
ϕ = 1
[0,p
n−1
)
n = 1 ϕ
{w
α
| α ∈ Z
+
} R
+
p § 3
m(ω) =
p
n
−1
X
α=0
a
α
w
α
(ω) (6)
ϕ
    Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè ϕ ∈ L2 (R+ ) ïîëîæèì

                  ϕj,k (x) = pj/2 ϕ(pj x           k),        j ∈ Z,    k ∈ Z+ ,
è
                         Vj = span{ϕj,k | k ∈ Z+ },                  j ∈ Z.                   (3)
   Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ ϕ ãåíåðèðóåò p -ÊÌÀ â L2 (R+ ), åñëè, âî-
ïåðâûõ, ñèñòåìà {ϕ(· k) | k ∈ Z+ } îðòîíîðìèðîâàíà â L2 (R+ ) è, âî-âòîðûõ,
ñåìåéñòâî ïîäïðîñòðàíñòâ (3) ÿâëÿåòñÿ p -ÊÌÀ â L2 (R+ ). Åñëè ôóíêöèÿ ϕ
ãåíåðèðóåò p -ÊÌÀ â L2 (R+ ), òî îíà ÿâëÿåòñÿ ìàñøòàáèðóþùåé ôóíêöèåé â
L2 (R+ ).  ýòîì ñëó÷àå äëÿ êàæäîãî j ∈ Z ñèñòåìà {ϕj,k | k ∈ Z+ } ÿâëÿåòñÿ
îðòîíîðìèðîâàííûì áàçèñîì â Vj è ïî ôóíêöèè ϕ ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû
âåéâëåòû ψ1 , . . . , ψp−1 òàêèì îáðàçîì, ÷òî ôóíêöèè

       ψl,j,k (x) = pj/2 ψl (p j x    k),          1 ≤ l ≤ p − 1,       j ∈ Z,     k ∈ Z+ ,
îáðàçóþò îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ â L2 (R+ ). Ïðè p = 2 èç ôóíêöèè ϕ
ïîëó÷àåòñÿ äèàäè÷åñêèé âåéâëåò ψ (ñì. 4.2).
   Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ p, n ∈ N, p ≥ 2, ðàññìîòðèì ìàñøòàáèðóþùåå óðàâíå-
íèå âèäà
                                             n
                                            pX −1
                               ϕ(x) = p             aα ϕ(p x     α).                          (4)
                                             α=0

  Ðåøåíèå ϕ óðàâíåíèÿ (4) íàçûâàåòñÿ ôèíèòíûì, åñëè ϕ èìååò êîìïàêò-
íûé íîñèòåëü íà R+ . Åñëè ìàñøòàáèðóþùåå óðàâíåíèå (4) èìååò íåíóëåâîå
ôèíèòíîå ðåøåíèå ϕ ∈ L2 (R+ ), òî ýòî ðåøåíèå åäèíñòâåííî ñ òî÷íîñòüþ äî
óìíîæåíèÿ íà êîíñòàíòó. Íîðìèðóåì ýòî ðåøåíèå óñëîâèåì
                                       Z
                                             ϕ(t) dt = 1.                                     (5)
                                        R+

    Õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ ìíîæåñòâà E ⊂ R+ îáîçíà÷èì ÷åðåç 1E .
   4.3. Åñëè a0 = · · · = ap−1 = 1/p è âñå aα = 0 äëÿ α ≥ p, òî ðåøåíèåì óðàâ-
íåíèÿ (4) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ ϕ = 1[0,p n−1 ) ; â ÷àñòíîñòè, ïðè n = 1 ôóíêöèÿ ϕ
ÿâëÿåòñÿ ìàñøòàáèðóþùåé ôóíêöèåé Õààðà.
   Ïóñòü {wα | α ∈ Z+ }  ñèñòåìà îáîáùåííûõ ôóíêöèé Óîëøà íà R+ , ñîîò-
âåòñòâóþùèõ âûáðàííîìó çíà÷åíèþ p (ñì. § 3). Îáîáùåííûé ïîëèíîì Óîëøà
                                               n
                                              pX −1
                                     m(ω) =              aα wα (ω)                            (6)
                                               α=0

íàçûâàåòñÿ ìàñêîé óðàâíåíèÿ (4) ( èëè åãî ðåøåíèÿ ϕ).


                                                96

Страницы