Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

x, y, z ∈ R
+
x ⊕ y p
χ(x, z)χ(y, z) = χ(x ⊕ y, z) χ(x, z)χ(y, z) = χ(x y, z). (4)
x, z y
R
+
p L
2
(R
+
)
p p
p L
2
(R
+
)
V
j
⊂ L
2
(R
+
) j ∈ Z
V
j
⊂ V
j+1
j ∈ Z
S
V
j
= L
2
(R
+
)
T
V
j
= {0}
f(·) ∈ V
j
⇐⇒ f(p ·) ∈ V
j+1
j ∈ Z
f(·) ∈ V
0
=⇒ f(· ⊕ k) ∈ V
0
k ∈ Z
+
ϕ ∈ L
2
(R
+
) {ϕ(·k) | k ∈ Z
+
}
V
0
ϕ
L
2
(R
+
).
L
2
(R
+
)
ϕ(x) = p
X
α∈Z
+
a
α
ϕ(px α),
X
α∈Z
+
|a
α
|
2
< +∞. (1)
ψ L
2
(R
+
)
{2
j/2
ψ(2
j
· k) | j ∈ Z, k ∈ Z
+
}
L
2
(R
+
)
ϕ
L
2
(R
+
)
p = 2 ψ
ψ(x) = 2
X
α∈Z
+
(−1)
α
a
1 ⊕α
ϕ(2x α), (2)
L
2
(R
+
)
ψ
R
+
ϕ
  3.5. Ïóñòü x, y, z ∈ R+ è ÷èñëî x ⊕ y íå ÿâëÿåòñÿ p-è÷íî ðàöèîíàëüíûì.
Òîãäà

        χ(x, z)χ(y, z) = χ(x ⊕ y, z) è χ(x, z)χ(y, z) = χ(x              y, z).   (4)

   Òàêèì îáðàçîì, ïðè ôèêñèðîâàííûõ x, z ðàâåíñòâà (4) âåðíû äëÿ âñåõ y
èç R+ , êðîìå ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà.
  Óòâåðæäåíèÿ 3.1  3.5 âûâîäÿòñÿ íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèé; äî-
ïîëíèòåëüíûå ñâåäåíèÿ î ôóíêöèÿõ Óîëøà è ìóëüòèïëèêàòèâíûõ ñèñòåìàõ
èìåþòñÿ â [3], [4] è [30].


              Ÿ 4. Êðàòíîìàñøòàáíûé p -àíàëèç â L2 (R+ )

    Êðàòíîìàñøòàáíûì p -àíàëèçîì èëè p -êðàòíîìàñøòàáíûì àíàëèçîì
(ñîêðàùåííî: p -ÊÌÀ) â L2 (R+ ) íàçûâàåòñÿ ñåìåéñòâî çàìêíóòûõ ïîäïðî-
ñòðàíñòâ Vj ⊂ L2 (R+ ), j ∈ Z, óäîâëåòâîðÿþùèõ ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:
    (i) Vj ⊂ Vj+1 äëÿ j ∈ Z;
    (ii)    Vj = L2 (R+ ) è Vj = {0};
          S                T
    (iii) f (·) ∈ Vj ⇐⇒ f (p ·) ∈ Vj+1 äëÿ j ∈ Z;
    (iv) f (·) ∈ V0 =⇒ f (· ⊕ k) ∈ V0 äëÿ k ∈ Z+ ;
    (v) ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ ϕ ∈ L2 (R+ ) òàêàÿ, ÷òî ñèñòåìà {ϕ(· k) | k ∈ Z+ }
ÿâëÿåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííûì áàçèñîì â V0 .
    Ôóíêöèÿ ϕ èç óñëîâèÿ (v) íàçûâàåòñÿ ìàñøòàáèðóþùåé ôóíêöèåé â
  2
L (R+ ).
  4.1. Âñÿêàÿ ìàñøòàáèðóþùàÿ ôóíêöèÿ â L2 (R+ ) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíå-
íèþ âèäà                  X                        X
               ϕ(x) = p          aα ϕ(px     α),          |aα |2 < +∞.            (1)
                          α∈Z+                     α∈Z+

  Ôóíêöèîíàëüíîå óðàâíåíèå (1) íàçûâàåòñÿ ìàñøòàáèðóþùèì óðàâíåíè-
åì.
   Ôóíêöèÿ ψ íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíûì âåéâëåòîì â L2 (R+ ), åñëè ñèñòåìà
ôóíêöèé {2j/2 ψ(2 j · k) | j ∈ Z, k ∈ Z+ } ÿâëÿåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííûì
áàçèñîì â L2 (R+ ).
  4.2. Ïóñòü ϕ  ìàñøòàáèðóþùàÿ ôóíêöèÿ â L2 (R+ ), óäîâëåòâîðÿþùàÿ
óðàâíåíèþ (1) ïðè p = 2. Òîãäà ôóíêöèÿ ψ , çàäàííàÿ ôîðìóëîé
                                  X
                     ψ(x) = 2            (−1)α a1 ⊕α ϕ(2x    α),                  (2)
                                  α∈Z+

ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíûì âåéâëåòîì â L2 (R+ ).
   Âåéâëåò ψ , îïðåäåëåííûé ïî ôîðìóëå (2), íàçûâàåòñÿ äèàäè÷åñêèì âåé-
âëåòîì íà ïîëóïðÿìîé R+ , ñîîòâåòñòâóþùèì ìàñøòàáèðóþùåé ôóíêöèè ϕ.

                                           95

Страницы