Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

R
+
= [0, +∞) p
x [x] {x}
x ∈ R
+
j ∈ N x
j
, x
−j
∈ {0, 1, . . . , p − 1}
x
j
= [p
j
x](mod p), x
−j
= [p
1−j
x](mod p). (1)
p x
x =
X
j<0
x
j
p
−j−1
+
X
j>0
x
j
p
−j
.
[x] =
∞
X
j=1
x
−j
p
j−1
, {x} =
∞
X
j=1
x
j
p
−j
.
ε
p
= exp(2πi/p) k hki
p
k p hki
p
= k − [ k/p ] p
x, y ∈ R
+
x ⊕ y =
X
j<0
hx
j
+ y
j
i
p
p
−j−1
+
X
j>0
hx
j
+ y
j
i
p
p
−j
, (2)
x
j
, y
j
p = 2
x ⊕ y =
X
j<0
|x
j
− y
j
|2
−j−1
+
X
j>0
|x
j
− y
j
|2
−j
.
z = xy z⊕y = x p = 2
⊕
[x ⊕ y] = [x] ⊕ [y] {x ⊕ y} = {x} ⊕ {y}.
k, l ∈ {0, 1, . . . , p
n
− 1} k ⊕ l = k ⊕
p
l
⊕ R
+
w
1
(x)
w
1
(x) =
1, x ∈ [0, 1/p),
ε
l
p
, x ∈ [lp
−1
, (l + 1)p
−1
), l ∈ {1, . . . , p −1},
R
+
w
1
(x + 1) = w
1
(x) x ∈ R
+
.
{w
l
| l ∈ Z
+
} R
+
Ÿ 3. Îáîáùåííûå ôóíêöèè Óîëøà è ìóëüòèïëèêàòèâíûå ñèñòåìû
                      íà ïîëóïðÿìîé

   Ïóñòü R+ = [0, +∞) è p  íàòóðàëüíîå ÷èñëî, áîëüøåå 1. Êàê îáû÷íî,
öåëàÿ è äðîáíàÿ ÷àñòè ÷èñëà x îáîçíà÷àþòñÿ ÷åðåç [x] è {x} ñîîòâåòñòâåííî.
   Äëÿ êàæäîãî x ∈ R+ è ëþáîãî j ∈ N ÷èñëà xj , x−j ∈ {0, 1, . . . , p − 1}
îïðåäåëèì ðàâåíñòâàìè

                  xj = [p j x](mod p),                      x−j = [p 1−j x](mod p).          (1)
Ýòè ÷èñëà ÿâëÿþòñÿ öèôðàìè p-è÷íîãî ðàçëîæåíèÿ ÷èñëà x:
                                         X                     X
                                  x=            xj p −j−1 +           xj p −j .
                                          j<0                   j>0

Ïðè ýòîì
                                   ∞
                                   X                                  ∞
                                                                      X
                      [x] =               x−j p   j−1
                                                        ,    {x} =           xj p −j .
                                    j=1                                j=1

   Íàïîìíèì, ÷òî εp = exp(2πi/p) è äëÿ öåëîãî k ÷åðåç hkip îáîçíà÷àåòñÿ
îñòàòîê îò äåëåíèÿ k íà p. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî hkip = k − [ k/p ] p.
   Äëÿ ëþáûõ x, y ∈ R+ ïîëîæèì
                                  X                              X
                 x⊕y =                  hxj + yj ip p −j−1 +            hxj + yj ip p −j ,   (2)
                                  j<0                             j>0

ãäå xj , yj âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì (1).  ÷àñòíîñòè, ïðè p = 2 èìååì
                                   X                             X
                  x⊕y =                  |xj − yj |2−j−1 +              |xj − yj |2−j .
                                   j<0                            j>0

Ðàâåíñòâî z = x y îçíà÷àåò, ÷òî z⊕y = x (â ñëó÷àå p = 2 áèíàðíûå îïåðàöèè
  è ⊕ ñîâïàäàþò). Èç îïðåäåëåíèé âèäíî, ÷òî

                  [x ⊕ y] = [x] ⊕ [y] è {x ⊕ y} = {x} ⊕ {y}.
Êðîìå òîãî, åñëè k, l ∈ {0, 1, . . . , pn − 1}, òî k ⊕ l = k ⊕p l (ñì. Ÿ2).
   3.1. Áèíàðíàÿ îïåðàöèÿ ⊕ íà R+ êîììóòàòèâíà, íî íå àññîöèàòèâíà.
   Ïóñòü w1 (x)  ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ íà [0,1) ôîðìóëîé
                      
                            1,       x ∈ [0, 1/p),
           w1 (x) =
                          εlp ,     x ∈ [lp −1 , (l + 1)p −1 ), l ∈ {1, . . . , p − 1},

è ïðîäîëæåííàÿ íà R+ òàê, ÷òî w1 (x + 1) = w1 (x) äëÿ âñåõ x ∈ R+ . Òî-
ãäà cèñòåìà îáîáùåííûõ ôóíêöèé Óîëøà {wl | l ∈ Z+ } íà R+ îïðåäåëÿåòñÿ
ðàâåíñòâàìè

                                                        93

Страницы