Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

v
k
(j) = v
k
(j + N), k ∈ {0, 1, . . . , N − 1}, j ∈ Z.
v
0
, v
1
, . . . , v
N−1
v
k
(j)v
l
(j) = v
k ⊕
p
l
(j), j ∈ Z,
C
N
kv
k
k
2
= N, k ∈ {0, 1, . . . , N − 1}.
{x(j)} C
N
x(j) =
N−1
X
k=0
a
k
v
k
(j), a
k
= N
−1
hx, v
k
i. (1)
a
k
x(0), x(1), . . . , x(N − 1)
x
0
(k) = x(k), k ∈ {0, 1, . . . , N − 1};
x
ν
(l + σp
ν−1
+ sp
ν
) =
1
p
p−1
X
τ=0
ε
−στ
p
x
ν−1
(l + τp
ν−1
+ sp
ν
),
ν ∈ {1, 2, . . . , n}, σ ∈ {0, 1, . . . , p − 1},
l ∈ {0, 1, . . . , p
ν−1
− 1}, s ∈ {0, 1, . . . , p
n−ν
− 1}.
a
k
= x
n
(k), k ∈ {0, 1, . . . , N − 1}.
y
0
(k) = x(k), k ∈ {0, 1, . . . , N − 1};
y
ν
(lp
n−ν+1
+ σp
n−ν
+ s) =
1
p
p−1
X
τ=0
ε
−στ
p
y
ν−1
(lp
n−ν−1
+ τp
n−ν
+ s),
ν ∈ {1, 2, . . . , n}, σ ∈ {0, 1, . . . , p − 1},
l ∈ {0, 1, . . . , p
ν−1
− 1}, s ∈ {0, 1, . . . , p
n−ν
− 1}.
a
k
= y
n
(k), k ∈ {0, 1, . . . , N − 1}.
x(0), x(1), . . . , x(N − 1) a
k
è
                  vk (j) = vk (j + N ),          k ∈ {0, 1, . . . , N − 1},      j ∈ Z.
    2.6. Ôóíêöèè Âèëåíêèíà  Êðåñòåíñîíà v0 , v1 , . . . , vN −1 îáëàäàþò ñâîé-
ñòâîì ìóëüòèïëèêàòèâíîñòè

                                 vk (j)vl (j) = vk ⊕p l (j),       j ∈ Z,
è îáðàçóþò îðòîãîíàëüíûé áàçèñ â CN , ïðè÷åì

                            kvk k2 = N,          k ∈ {0, 1, . . . , N − 1}.

    Äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {x(j)} èç CN èìååì
                                      N
                                      X −1
                          x(j) =             ak vk (j),    ak = N −1 hx, vk i.             (1)
                                      k=0

Ïðèâåäåì äâà ìåòîäà âû÷èñëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ak ðàçëîæåíèÿ (1) ïî èç-
âåñòíûì çíà÷åíèÿì x(0), x(1), . . . , x(N − 1).
    2.7. Ïóñòü
                          x0 (k) = x(k),           k ∈ {0, 1, . . . , N − 1};
                                         p−1
                                       1 X
             xν (l + σp ν−1 + sp ν ) =        ε−στ
                                               p xν−1 (l + τ p
                                                               ν−1
                                                                   + sp ν ),
                                       p τ =0
                         ν ∈ {1, 2, . . . , n},       σ ∈ {0, 1, . . . , p − 1},
                  l ∈ {0, 1, . . . , p ν−1 − 1},          s ∈ {0, 1, . . . , p n−ν − 1}.
Òîãäà
                            ak = xn (k),          k ∈ {0, 1, . . . , N − 1}.
    2.8. Ïóñòü
                           y0 (k) = x(k),          k ∈ {0, 1, . . . , N − 1};
                                               p−1
                 n−ν+1          n−ν          1 X −στ
        yν (lp           + σp         + s) =        εp yν−1 (lp n−ν−1 + τ p n−ν + s),
                                             p τ =0
                         ν ∈ {1, 2, . . . , n},       σ ∈ {0, 1, . . . , p − 1},
                  l ∈ {0, 1, . . . , p ν−1 − 1},          s ∈ {0, 1, . . . , p n−ν − 1}.
Òîãäà
                            ak = yn (k),         k ∈ {0, 1, . . . , N − 1}.
   Çàäàííûå â 2.7 è 2.8 ïðåîáðàçîâàíèÿ íàçûâàþò ïðÿìûìè áûñòðûìè ïðå-
îáðàçîâàíèÿìè Âèëåíêèíà  Êðèñòåíñîíà. Îáðàùàÿ ôîðìóëû, çàäàþùèå
ýòè ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå äâà ìåòîäà âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé
x(0), x(1), . . . , x(N − 1) ïî èçâåñòíûì êîýôôèöèåíòàì ak .

                                                     91

Страницы