Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

x
ν
(l + s2
n−ν
+ σ2
n−ν−1
) =
=
1
2
x
ν+1
(l + s2
n−ν
) + (−1)
σ
x
ν+1
(l + s2
n−ν
+ σ2
n−ν−1
)
,
ν ∈ {n − 1, n − 2, . . . , 0}, σ ∈ {0, 1},
l ∈ {0, 1, . . . , 2
n−ν−1
− 1}, s ∈ {0, 1, . . . , 2
ν
− 1};
bg(k) = x
0
(rev
n
(k)), k ∈ {0, 1, . . . , 2
n
− 1}.
x
0
(k) = bg(rev
n
(k)), k ∈ {0, 1, . . . , 2
n
− 1};
x
ν+1
(l + s2
n−ν
+ σ2
n−ν−1
) = x
ν
(l + s2
n−ν
) + (−1)
σ
x
ν
(l + s2
n−ν
+ σ2
n−ν−1
),
ν ∈ {0, 1, . . . , n − 1}, σ ∈ {0, 1},
l ∈ {0, 1, . . . , 2
n−ν−1
− 1}, s ∈ {0, 1, . . . , 2
ν
− 1};
g(k) = x
n
(k), k ∈ {0, 1, . . . , 2
n
− 1}.
N = p
n
p n C
N
N
x = {x(j)} C
N
hx, yi =
N−1
X
j=0
x(j)y(j), kxk = hx, xi
1/2
.
k hki
p
k p k, l ∈ {0, 1, . . . , N − 1} p
k = k
n−1
p
n−1
+ k
n−2
p
n−2
+ ··· + k
0
, l = l
n−1
p
n−1
+ l
n−2
p
n−2
+ ··· + l
0
,
k
i
, l
i
∈ {0, 1, . . . , p − 1},
k ⊕
p
l =
n−1
X
ν=0
hk
ν
+ l
ν
i
p
p
ν
{k, l}
n
=
n−1
X
ν=0
k
ν
l
ν
.
ε
p
= exp(2πi/p) v
0
, v
1
, . . . , v
N−1
v
k
(j) = ε
{k,l}
n
p
, k, j ∈ {0, 1, . . . , N −1},
 xν (l + s2n−ν + σ2n−ν−1 ) =
                      1
                          xν+1 (l + s2n−ν ) + (−1)σ xν+1 (l + s2n−ν + σ2n−ν−1 ) ,
                                                                               
                    =
                      2

                    ν ∈ {n − 1, n − 2, . . . , 0},     σ ∈ {0, 1},
              l ∈ {0, 1, . . . , 2n−ν−1 − 1},    s ∈ {0, 1, . . . , 2ν − 1};
                 gb(k) = x0 (revn (k)),       k ∈ {0, 1, . . . , 2n − 1}.

  2.5. Îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Óîëøà ìîæåò áûòü âû÷èñëåíî ïî ôîðìóëàì
                   x0 (k) = gb(revn (k)),         k ∈ {0, 1, . . . , 2n − 1};
 xν+1 (l + s2n−ν + σ2n−ν−1 ) = xν (l + s2n−ν ) + (−1)σ xν (l + s2n−ν + σ2n−ν−1 ),

                       ν ∈ {0, 1, . . . , n − 1},     σ ∈ {0, 1},
              l ∈ {0, 1, . . . , 2n−ν−1 − 1},     s ∈ {0, 1, . . . , 2ν − 1};
                    g(k) = xn (k),          k ∈ {0, 1, . . . , 2n − 1}.

   Çàäàííûå â 2.4 è 2.5 ïðåîáðàçîâàíèÿ íàçûâàþò ñîîòâåòâåííî ïðÿìûì è
îáðàòíûì áûñòðûì ïðåîáðàçîâàíèåì Óîëøà (ñì., íàïðèìåð, [30]).
   Ïóñòü N = pn , ãäå p è n  íàòóðàëüíûå ÷èñëà, áîëüøèå 1. ×åðåç CN
îáîçíà÷àåòñÿ ïðîñòðàíñòâî êîìïëåêñíîçíà÷íûõ N -ïåðèîäè÷åñêèõ ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòåé x = {x(j)}. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå è íîðìà â CN îïðåäåëÿþòñÿ
ðàâåíñòâàìè
                                  N
                                  X −1
                      hx, yi =           x(j)y(j),          kxk = hx, xi1/2 .
                                   j=0

   Äëÿ öåëîãî íåîòðèöàòåëüíîãî k ÷åðåç hkip îáîçíà÷àåòñÿ îñòàòîê îò äåëåíèÿ
k íà p. Åñëè k, l ∈ {0, 1, . . . , N − 1} èìåþò p-è÷íûå ðàçëîæåíèÿ

 k = kn−1 p n−1 + kn−2 p n−2 + · · · + k0 ,           l = ln−1 p n−1 + ln−2 p n−2 + · · · + l0 ,
                                                                     ki , li ∈ {0, 1, . . . , p − 1},
òî ïîëàãàþò
                            n−1
                            X                                             n−1
                                                                          X
                 k ⊕p l =         hkν + lν ip p   ν
                                                        è     {k, l}n =         kν lν .
                            ν=0                                           ν=0

  Ïóñòü εp = exp(2πi/p). Ôóíêöèè Âèëåíêèíà  Êðåñòåíñîíà v0 , v1 , . . . , vN −1
îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâàìè

                     vk (j) = ε{k,l}
                               p
                                    n
                                      ,     k, j ∈ {0, 1, . . . , N − 1},

                                               90

Страницы