Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

g {0, 1, . . . , 2
n
− 1}
bg
bg(j) :=
1
2
n
2
n
−1
X
k=0
g(k)w
j
(k2
−n
), 0 ≤ j ≤ 2
n
− 1.
g(k) =
2
n
−1
X
j=0
bg(j)w
k
(j2
−n
), 0 ≤ k ≤ 2
n
− 1.
w
j
(k2
−n
) = w
k
(j2
−n
) = w
(n)
j,k
,
w(x) 2
n
− 1
n
w(x)
I
(n)
l
f [0, 1] g
n
(k) =
f(k2
−n
) k = 0, 1, . . . , 2
n
− 1
lim
n→∞
bg
n
(j) =
Z
1
0
f(x)w
j
(x) dx, j ∈ Z
+
.
k ∈ {0, 1, . . . , 2
n
− 1}
k = k
n−1
2
n−1
+ k
n−2
2
n−2
+ ··· + k
0
, k
i
∈ {0, 1},
rev
1
(k) = k
0
, rev
ν
(k) := k
0
2
ν−1
+ k
1
2
ν−2
+ ··· + k
ν−1
, ν ∈ {2, . . . , n}.
σ ∈ {0, 1} ν ∈ {2, . . . , n}
rev
1
(σ) = σ, rev
ν
(2l + σ) = σ2
ν−1
+ rev
ν−1
(l), l ∈ {0, 1, . . . , 2
ν−1
− 1}.
g : {0, 1, . . . , 2
n
−1} →
C
x
n
(k) = g(k), k ∈ {0, 1, . . . , 2
n
− 1};
       Ÿ 2. Äèñêðåòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ Óîëøà è Âèëåíêèíà 
                           Êðåñòåíñîíà

   Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè g , çàäàííîé íà ìíîæåñòâå {0, 1, . . . , 2n − 1} è
ïðèíèìàþùåé êîìïëåêñíûå çíà÷åíèÿ, ïðåîáðàçîâàíèå Óîëøà îáîçíà÷àåòñÿ gb
è îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
                                 n
                              2 −1
                            1 X
                   gb(j) := n      g(k)wj (k2−n ),         0 ≤ j ≤ 2n − 1.
                           2
                                k=0

   2.1. Ôîðìóëà îáðàùåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Óîëøà èìååò âèä
                               n
                              2X −1
                     g(k) =           gb(j)wk (j2−n ),   0 ≤ k ≤ 2n − 1.
                              j=0


   Ïîñêîëüêó wj (k2−n ) = wk (j2−n ) = wj,k , èç 1.18 èìååì:
                                                   (n)

   1) ïðîèçâîëüíûé ïîëèíîì Óîëøà w(x) ñòåïåíè 2n − 1 âîññòàíàâëèâàåòñÿ
ïî ñâîèì çíà÷åíèÿì íà äâîè÷íûõ èíòåðâàëàõ ðàíãà n c ïîìîùüþ ïåðåîáðà-
çîâàíèÿ Óîëøà;
   2) äëÿ äàííîãî ïîëèíîìà Óîëøà w(x) åãî çíà÷åíèÿ íà äâîè÷íûõ èíòåðâà-
      (n)
ëàõ Il ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû ñ ïîìîùüþ îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Óîëøà.
   2.2. Ïóñòü ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó íà [0, 1] è ïóñòü gn (k) =
f (k2−n ) äëÿ k = 0, 1, . . . , 2n − 1. Òîãäà
                                      Z 1
                     lim gbn (j) =        f (x)wj (x) dx,        j ∈ Z+ .
                       n→∞                0

   Äëÿ êàæäîãî k ∈ {0, 1, . . . , 2n − 1}, èìåþùåãî äâîè÷íîå ðàçëîæåíèå
                  k = kn−1 2n−1 + kn−2 2n−2 + · · · + k0 ,        ki ∈ {0, 1},
ïîëàãàþò
   rev1 (k) = k0 ,    revν (k) := k0 2ν−1 + k1 2ν−2 + · · · + kν−1 ,        ν ∈ {2, . . . , n}.

   2.3. Äëÿ ëþáûõ σ ∈ {0, 1}, ν ∈ {2, . . . , n} èìåþò ìåñòî ðåêóððåíòíûå
ôîðìóëû
  rev1 (σ) = σ,      revν (2l + σ) = σ2ν−1 + revν−1 (l),          l ∈ {0, 1, . . . , 2ν−1 − 1}.

   2.4. Ïðåîáðàçîâàíèå Óîëøà ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè g : {0, 1, . . . , 2n − 1} →
C ìîæåò áûòü âû÷èñëåíî ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùèõ ôîðìóë
                        xn (k) = g(k),        k ∈ {0, 1, . . . , 2n − 1};

                                                89

Страницы