Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

n ∈ Z
+
x ∈ ∆
w
2
n
+l
(x) = 2
−n/2
2
n
−1
X
k=0
w
(n)
l,k
h
2
n
+k
(x), 0 ≤ l ≤ 2
n
− 1,
h
2
n
+k
(x) = 2
−n/2
2
n
−1
X
l=0
w
(n)
l,k
w
2
n
+l
(x), 0 ≤ k ≤ 2
n
− 1.
w(x) =
2
n
−1
X
k=0
c
k
w
k
(x)
2
n
− 1
b
l
= w(x) x ∈ I
(n)
l
, 0 ≤ l ≤ 2
n
− 1,
n
c
k
=
1
2
n
2
n
−1
X
l=0
w
(n)
l,k
b
l
, 0 ≤ k ≤ 2
n
− 1,
b
l
=
2
n
−1
X
k=0
w
(n)
l,k
c
k
, 0 ≤ l ≤ 2
n
− 1.
f ∈ L
1
(∆)
S
2
n
(x) =
2
n
−1
X
j=0
c
j
w
j
(x), c
j
=
Z
1
0
f(t)w
j
(t) dt, x ∈ ∆.
lim
n→∞
kf − S
2
n
k
L
1
(∆)
= 0.
{w
n
| n ∈ Z
+
} L
q
(∆)
1 ≤ q < ∞ L
2
(∆)
    1.17. Äëÿ ëþáûõ n ∈ Z+ , x ∈ ∆, ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà
                                    n
                                   2X −1
                                                (n)
             w2n +l (x) = 2−n/2            wl,k h2n +k (x),                0 ≤ l ≤ 2n − 1,
                                    k=0

è                                   n
                                   2X −1
                                                (n)
             h2n +k (x) = 2−n/2            wl,k w2n +l (x),                0 ≤ k ≤ 2n − 1.
                                    l=0

    1.18. Ïóñòü
                                                   n
                                                  2X −1
                                  w(x) =                    ck wk (x)
                                                  k=0
 ïîëèíîì Óîëøà ñòåïåíè íå âûøå 2 − 1 è ïóñòü     n

                                                           (n)
                   bl = w(x) äëÿ x ∈ Il ,                             0 ≤ l ≤ 2n − 1,
 çíà÷åíèÿ, ïðèíèìàåìûå ýòèì ïîëèíîìîì íà äâîè÷íûõ èíòåðâàëàõ ðàíãà n.
Òîãäà
                                   n
                             2 −1
                           1 X (n)
                      ck = n      wl,k bl ,                  0 ≤ k ≤ 2n − 1,
                          2
                                  l=0
è                                n
                                2X −1
                                          (n)
                        bl =            wl,k ck ,          0 ≤ l ≤ 2n − 1.
                                k=0

    1.19. Ïóñòü f ∈ L1 (∆) è
                       n
                      2X −1                                 Z    1
            S (x) =
              2n              cj wj (x),        cj =                 f (t)wj (t) dt,   x ∈ ∆.
                       j=0                                   0


Òîãäà
                                lim kf − S2n kL1 (∆) = 0.
                                n→∞

    1.20. Ñèñòåìà Óîëøà {wn | n ∈ Z+ } ïîëíà âî âñåõ ïðîñòðàíñòâàõ Lq (∆),
1 ≤ q < ∞, à â ïðîñòðàíñòâå L2 (∆) îíà ÿâëÿåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííûì áàçè-
ñîì.




                                                      88

Страницы