Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

w
0
(x) ≡ 1, w
l
(x) =
k
Y
j=0
(w
1
(p
j
x))
l
j
, l ∈ N, x ∈ R
+
,
l
j
p
l =
k
X
j=0
l
j
p
j
, l
j
∈ {0, 1 . . . , p − 1}, l
k
6= 0, k = k(l),
p = 2
w
l
(x + 1) = w
l
(x) l ∈ Z
+
, x ∈ R
+
.
[kp
−n
, (k + 1)p
−n
), k ∈ Z,
p n
w
l
(x) 0 ≤ l ≤ p
n
− 1
p n
w
l
(x) = 1 x ∈ [0, p
−n
)
l, s ∈ {0, 1, . . . , p
n
− 1} m = rev
(p)
n
(l)
w
l
(sp
−n
) = v
m
(s),
v
m
x, y ∈ R
+
χ(x, y) = ε
t(x,y)
p
, t(x, y) =
∞
X
j=1
(x
j
y
−j
+ x
−j
y
j
), (3)
x
j
, y
j
χ(x, y) = (−1)
t(x,y)
p = 2
χ(x, 0) = χ(0, y) = |χ(x, y)| = 1, χ(x, y) = χ(y, x) = w
[y]
({x})w
[x]
({y}),
χ(x, l) = w
l
({x}), l ∈ Z
+
, x, y ∈ R
+
.
j
χ(x, p
−j
l) = χ(p
−j
x, l) = w
l
(p
−j
x), l ∈ Z
+
, x ∈ [0, p
j
).
                                              k
                                              Y
             w0 (x) ≡ 1,             wl (x) =   (w1 (pj x))lj ,           l ∈ N,       x ∈ R+ ,
                                                    j=0

ãäå lj áåðóòñÿ èç p-è÷íîãî ðàçëîæåíèÿ
                   k
                   X
              l=         lj pj ,      lj ∈ {0, 1 . . . , p − 1},        lk 6= 0,     k = k(l),
                   j=0

(êëàññè÷åñêàÿ ñèñòåìà Óîëøà ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ p = 2). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî

                   wl (x + 1) = wl (x) äëÿ âñåõ l ∈ Z+ ,                           x ∈ R+ .

     ×èñëîâûå ïðîìåæóòêè

                                     [kp −n , (k + 1)p −n ),          k ∈ Z,
íàçûâàþòñÿ p -àäè÷åñêèìè èíòåðâàëàìè ðàíãà n.
     3.2. Îáîáùåííûå ôóíêöèè Óîëøà wl (x), 0 ≤ l ≤ pn − 1, ïðèíèìàþò ïî-
ñòîÿííûå çíà÷åíèÿ íà êàæäîì èç p -àäè÷åñêèõ èíòåðâàëîâ ðàíãà n, ïðè÷åì
wl (x) = 1 äëÿ x ∈ [0, p −n ).
     3.3. Ïóñòü l, s ∈ {0, 1, . . . , p n − 1} è m = rev(p)
                                                        n (l). Òîãäà

                                                wl (sp −n ) = vm (s),
ãäå vm  ôóíêöèè Âèëåíêèíà  Êðåñòåíñîíà.
     Äëÿ ëþáûõ x, y ∈ R+ ïîëîæèì
                                                                 ∞
                                                                 X
                 χ(x, y) =         εpt(x,y) ,        t(x, y) =         (xj y−j + x−j yj ),            (3)
                                                                 j=1

ãäå xj , yj âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì (1).  ÷àñòíîñòè, χ(x, y) = (−1)t(x,y) ïðè
p = 2.
     3.4. Ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà
    χ(x, 0) = χ(0, y) = |χ(x, y)| = 1,                    χ(x, y) = χ(y, x) = w[y] ({x})w[x] ({y}),
è
                         χ(x, l) = wl ({x}),               l ∈ Z+ ,     x, y ∈ R+ .
Êðîìå òîãî, ïðè ëþáîì íàòóðàëüíîì j

            χ(x, p −j l) = χ(p −j x, l) = wl (p −j x),                 l ∈ Z+ ,      x ∈ [0, p j ).


                                                          94

Страницы