Методы вычисления интегралов. Файницкий Ю.Л. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

2.5.2 Интеграл от неограниченной функции
Определение. Пусть функция
f
непрерывна на множествах ,
и не ограничена на каждом из этих промежутков. Если существует
предел
[, )ac
(, ]cb
0
lim ( )d ( )d
cb
ac
f
xx fxx
ε
ε
ε
−
→+
+
⎛⎞
⎜⎟
+
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
,
то этот предел называется интегралом в смысле главного значения от ука-
занной функции на отрезке
[
]
, ab и обозначается
v. p. ( )d
b
a
f
xx
∫
.
Таким образом, по определению,
v. p. ( )d
b
a
f
xx
∫
=
0
lim ( )d ( )d
cb
ac
f
xx fxx
ε
ε
ε
−
→+
+
⎛⎞
⎜⎟
+
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
.
27. Вычислить интеграл в смысле главного значения:
4
1
2
d
v. p.
ln
x
xx
∫
.
Решение.
Согласно определению интеграла в смысле главного значения,
414
0
11
1
22
dd
v. p. lim
ln ln ln
xx
xx xx xx
ε
ε
ε
−
→+
+
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
d
x
=
+=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫∫∫
1
4
1
1
2
0
lim ln ln ln lnxx
ε
ε
ε
−
+
→+
⎛⎞
⎜⎟
=+
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
=
37

Страницы