Практикум по высшей математике с основами математической статистики. Фетисов Ю.М - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

18
37. Дифференциальные уравнения. Определение порядка дифференциального
уравнения, решения, общего решения и частного решения.
38. Задача Коши.
39. Дифференциальные уравнения первого порядка . Уравнения с разделяющимися
переменными.
40. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка .
41. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка .
42. Простейшие случаи понижения порядка дифференциального уравнения.
43. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными ко -
эффициентами.
Полное исследование функции и построение графика
Схема общего исследования функции:
1. Найти область определения функции
)
(
y
D
.
2. Найти область значений функции
)
(
y
E
(если это возможно ), точки пересече -
ния графика функции с осями координат, участки знакопостоянства .
3. Определить четность или нечетность функции.
4. Определить периодичность функции.
5. Найти вертикальные , наклонные или горизонтальные асимптоты.
6. Найти критические точки первого рода .
7. Найти критические точки второго рода .
8. Заполнить таблицу исследования.
9. По результатам исследования построить график функции.
Пример 16. Провести полное исследование и построить график функции
.
2
3
2
−
−
=
x
x
y
Решение .
1. Область определения
(
)
(
)
.;22;)(
+
∪
−
=
yD
2. Пусть x = 0, тогда y = 1,5. Пусть y = 0, тогда x = 3± . То есть точки ( 0; 3/2 )
и ( 3± ; 0 ) – являются точками пересечения графика функции с осями коорди -
нат. Если
(
)
(
)
2;33; ∪−∞−∈ x , то y(x) < 0.
Если
(
)
(
)
,;23;3 ∞+∪−∈ x то y(x) > 0.
3. Функция общего вида , т. е . не является ни четной, ни нечетной. Действитель-
но ,
()
(
)
.
2
3
2
3
2
2
+
−
−=
−−
−−
=−
x
x
x
x
xy
То есть y(-x) ≠ y(x) и y(-x)≠ - y(x).
4. Функция не является периодической, так как она имеет только одну точку
разрыва .
5. а ) Найдем вертикальные асимптоты графика функции. Вертикальные асим -
птоты бывают только в точках разрыва второго рода . В нашем случае подозри-
тельной является точка x = 2. Найдем односторонние пределы: 
37. Дифференциальные уравнения. Определение порядка дифференциального
    уравнения, решения, общего решения и частного решения.
38. Задача Коши.
39. Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися
    переменными.
40. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
41. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
42. Простейшие случаи понижения порядка дифференциального уравнения.
43.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными ко-
    эффициентами.

         Полное исследование функции и построение графика

                    Схема общего исследования функции:
1. Найти область определения функции D( y ) .
2. Найти область значений функции E ( y ) (если это возможно), точки пересече-
   ния графика функции с осями координат, участки знакопостоянства.
3. Определить четность или нечетность функции.
4. Определить периодичность функции.
5. Найти вертикальные, наклонные или горизонтальные асимптоты.
6. Найти критические точки первого рода.
7. Найти критические точки второго рода.
8. Заполнить таблицу исследования.
9. По результатам исследования построить график функции.

   Пример 16. Провести полное исследование и построить график функции
           x 2 −3
       y=         .
            x −2
   Решение.
1. Область определения D ( y ) =(−∞; 2 ) ∪ ( 2; +∞ ).
2. Пусть x = 0, тогда y = 1,5. Пусть y = 0, тогда x = ± 3 . То есть точки ( 0; 3/2 )
и ( ± 3 ; 0 ) – являются точками пересечения графика функции с осями коорди-
              (         ) (        )
нат. Если x ∈ −∞; − 3 ∪ 3; 2 , то y(x) < 0.
         (         )
Если x ∈ − 3; 3 ∪ ( 2; +∞ ), то y(x) > 0.
3. Функция общего вида, т. е. не является ни четной, ни нечетной. Действитель-

но, y (−x ) =
             (−x ) −3
                  2

                      =−
                         x 2 −3
                                . То есть y(-x) ≠y(x) и y(-x)≠- y(x).
               −x −2      x +2
4. Функция не является периодической, так как она имеет только одну точку
разрыва.
5. а) Найдем вертикальные асимптоты графика функции. Вертикальные асим-
птоты бывают только в точках разрыва второго рода. В нашем случае подозри-
тельной является точка x = 2. Найдем односторонние пределы:


                                         18

Страницы