Практикум по высшей математике с основами математической статистики. Фетисов Ю.М - 16 стр.

  Пример 14. Найти производную y′(x) функции, заданной параметрически:

     � y =8 ⋅ sin 3 t ,
      �
        � x =4 ⋅ cos t.
                    3


                                           ′
                     y ′(t ) (8 ⋅ sin 3 t ) t   8 ⋅ 3 ⋅ sin 2 t ⋅ cos t   2 ⋅ sin t
  Решение. y ′(x ) =        =                 =                         =−          =−2 ⋅ tgt.
                     x′(t ) (4 ⋅ cos 3 t )′ t 4 ⋅ 3 ⋅ cos t ⋅ (−sin t )
                                                          2
                                                                           cos t

               � y ′(x ) =−2 ⋅ tgt ,
  Ответ: �
                � x =4 ⋅ cos t.
                              3




  Пример 15. Вычислить                 4   16,6 приближенно, с помощью дифференциала.
  Решение. Рассмотрим функцию y =4 x .

Пусть x0 =16,         x1 =16,6.        Тогда ∆x =x1 - x0 =16,6 −16 =0,6.
                                                 3
                                           1 −                     1           1    1
y0 =y (x0 ) = 16 =2.
               4
                                 y ′(x0 ) = ⋅ x 4            =               =     = .
                                           4         x =16        ( )
                                                              4 ⋅ 4 16
                                                                         3
                                                                              4 ⋅ 8 32
Для нахождения y1 =4 x1 =4 16,6 воспользуемся формулой:
y1 ≈y0 +dy(x0 ), где dy(x0 ) =y ′(x0 ) ⋅ ∆x - дифференциал функции.

                                     1
Таким образом,         4   16,6 ≈2 + ⋅ 0,6 ≈2 +0,019 =2,019.
                                    32

                      Примерный вариант контрольной работы №4

         Найти предел функции:                                         Найти производную y′(x):
            3x 2 + 4 x 4 +1
  1. lim
      x → ∞ 5 x 2 +3 x −1
                            ,                                1.   y =(arccos 4 x −tg 2 2 x )⋅ e - x ,
                                                                  y =(ctg 3 x ) ,
                                                                                3x
              x 2 −12 −2                                     2.
   2. lim                 ,
       x→ 4   3x +4 −x
            sin 3x                                                                   x
   3. lim           ,                                        3. в)       x - y +lg     =0,
      x → π sin 5 x                                                                  y
                                                                  � y =arcctg t ,
                       1
   4. lim (x −1)x−2 .                                        4. г) �
                                                                   � x =lg(1 +t ).
        x→ 2


                                                             5. Вычислить приближенно, с помо-
                                                             щью дифференциала: 3 27,34 .

За данную работу выставляется две оценки: одна по пределам, другая по произ-
водным.

                                                        16